%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{J.~Hubbard tétele a kaotikus viselkedésre\label{1.3.1}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Hubbardnak, a tekintett inga kaotikusságára vonatkozó tételének ismertetése elõtt vezessük be az alábbi jelöléseket:
\begin{itemize}
\item Jelöljük a $\left[2k\pi,2(k+1)\pi\right]$ idõintervallumot $I_k$-val.
\item $\epsilon_{k \in {\mathbb{Z}}}$ egy szimbólum, melynek értékkészlete $\left\{-1,0,1\right\}$.
\item
\begin{itemize}
\item Ha az $I_k$ idõintervallumban az inga \emph{az óra járásával megegyezõ irányban
pontosan egyszer} haladt át az alsó ponton, akkor azt mondjuk, hogy az inga az
\emph{$\epsilon _k= -1$}  szerinti mozgást végezte.
\item Ha az $I_k$ idõintervallumban az inga \emph{nem}
haladt át az alsó ponton, akkor azt mondjuk, hogy az inga az
\emph{$\epsilon _k= 0$} szerinti mozgást végezte.
\item Ha az $I_k$ idõintervallumban az inga \emph{az óra járásával ellentétes irányban
pontosan egyszer} haladt át az alsó ponton, akkor azt mondjuk, hogy az inga az
\emph{$\epsilon _k= 1$} szerinti mozgást végezte.
\end{itemize}
\end{itemize}
Megjegyzendõ, hogy az alsó pont alatt azt értjük, hogy az inga szöge egyenlõ $2k\pi$-vel, valamilyen egész $k$-ra. Ekkor az inga nincs egyensúlyban, mint ahogy ez a korábbi eredményeinkbõl látható. Azt is érdemes megjegyezni, hogy az $\epsilon_k$ szerinti mozgáson kívül léteznek egyéb típusú mozgások is. Például az $I_k$ idõintervallum alatt többször is átmegy az alsó ponton. Most az ilyen típusú mozgásokat figyelmen kívül hagyjuk, a kaotikus viselkedést csak e három típust tartalmazó trajektóriákra mondjuk ki.

\begin{tet}[Hubbard] Az összes, mindkét irányban végtelen
hosszú $\epsilon _k \in \{-1,0,1\}$-val megadott sorozathoz létezik olyan $\left(x(0),
x'(0)\right)$ kezdõérték, amelyre az inga az $I_k$ idõintervallumok
alatt az $\epsilon _k$ szerinti mozgást végzi.
\end{tet}

Ez azt jelenti, hogy tetszõlegesen elõírhatjuk azt, hogy az inga az egymás utáni $2\pi$ hosszú idõintervallumok alatt melyik irányba haladjon át az alsó ponton, vagy azt, hogy ne haladjon át az adott idõ alatt ezen a ponton. Például elõírhatjuk azt a sorozatot, mely szerint a $[-2\pi,0]$ idõ alatt jobbra, míg a $[0,2\pi]$ idõ alatt balra, majd a $[2\pi,4\pi]$ idõ alatt ne haladjon át, és végül a $[4\pi,6\pi]$ idõ alatt megint balra haladjon át az alsó ponton (lásd \aref{Ingamozgas}~ábrán). A tétel szerint ezt a sorozatot mindkét irányban tetszõlegesen folytatva is létezik az ingának olyan kezdeti szöge és sebessége, melybõl elindítva az elõírt sorozatot írja le.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=.85\textwidth]{Bizonyitas/Figure/mozgas.eps}
\caption{Egy lehetséges mozgássorozat 4 hosszú részlete.}
\label{Ingamozgas}
\end{center}
\end{figure}

Hubbard a cikkében~\cite{Hubbard99} kimondta a tételt, de egzakt matematikai bizonyítást nem tudott adni rá, habár a bizonyítás egy lehetséges menetét leírta. A következõkben ez alapján adunk bizonyítást. 

