%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{A bizonyítás menete\label{1.3.2}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%

A kaotikusságot bizonyító patkók keresése csak a Poincaré-metszeteken alkalmazható. Jelen esetben ezen Poincaré-metszetek az inga szöge és sebessége terében vannak. Azaz az itt létrejövõ területek, melyek mutatják a patkó létezését, szög-sebesség párokból álló halmazok. Ezen halmazok tetszõleges bejárására ad egzakt bizonyítást a patkók létezése. Jelen esetben egy teljes \mbox{$L$-$M$-$R$} típusú $UG$ patkót fogunk keresni. A patkót mutató halmazokat rendre $L$, $M$ és $R$ szimbólumokkal fogjuk jelölni, és ezt a teret szimbolikus térnek fogjuk nevezni. Ha a Poincaré-metszeteken sikerül bizonyítani a patkó létezését, akkor már tudjuk, hogy a rendszer kaotikus, de a tétel ennél erõsebbet állít. A tételben szereplõ események a két Poincaré-metszet között bekövetkezett ingamozgásokat írják elõ. Így a következõ lépésben meg fogjuk mutatni, hogy a kaotikus pontok ilyen típusú mozgásokat fognak végrehajtani a $2\pi$ hosszú idõ alatt. Azaz a bizonyításunk a következõ két részbõl fog állni:
\begin{description}
\item[1.] Az $\left( x, x'\right)$ szimbolikus térben mutatunk olyan $L$, $M$ és $R$ halmazokat,
amelyekre bizonyíthatjuk a káosz létét, azaz tetszõleges ${ \{ Q_{\gamma_k} \} }_{k \in{\mathbb{Z}}}$ (ahol $\gamma_k \in \{ -1,0,1 \}$ és $Q_{-1} = L$, $Q_0 = M$, $Q_1 = R$) sorozathoz mutatunk egy pontot a szimbolikus térben,
melynek a trajektóriája épp az adott sorozatot járja be.
\item[2.] Megmutatjuk, hogy az $\left(x, x'\right)$ szimbolikus térben kimutatott káosz
ekvivalens az ingán definiált káosszal,
azaz az $L$, $M$, $R$ szimbólumok rendre ekvivalensek az $\epsilon_k = -1$, $\epsilon_k = 0$, $\epsilon_k = 1$ típusú mozgással.
\end{description}

Bár, eddig egyetlen $L$, $M$, illetve $R$ halmazról beszéltünk, de tulajdonképpen végtelen sok van belõlük, ugyanis az inga szöge $2\pi$ szerint periodikus. Jelöljük ezen halmazokat rendre $L_i$-vel, $M_i$-vel és $R_i$-vel. Mivel azt akarjuk belátni, hogy az $L_i$ halmazból induló inga pontosan egyszer megy át az alsó ponton, így csak az $L_{i-1}$, $M_{i-1}$ és $R_{i-1}$ halmazokba mehet, és hasonlóan, az $M_i$ halmazból az $L_i$, $M_i$ és $R_i$-be, és az $R_i$-bõl az $L_{i+1}$, $M_{i+1}$ és $R_{i+1}$-be. Ezen átmenet gráf egy részletét láthatjuk \az{\ref{IngaTeljesGraf}}.\ ábrán.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{Bizonyitas/Figure/Graf.eps}
\caption{A kényszererõs inga kaotikusságát leíró gráf egy részlete.}
\label{IngaTeljesGraf}
\end{center}
\end{figure}


Ebben a térben egy ``igazi'' patkó tulajdonképpen nem is alakul ki, mivel nem saját magukat fedik át, hanem a szomszédos hasonló régiókat. Azonban, ha csak magát az ingát tekintjük, akkor mégis kialakul a patkó szerkezet. Ez a gondolat szimbolikusan azt jelenti, hogy az eredeti síkbeli állapothalmazt egy végtelen magas henger palástjára képezzük le.

