%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{Káosz bizonyítása a szimbolikus térben\label{1.3.3}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Az $L_i$, $M_i$ és $R_i$ halmazok helyzete periodikus, így elegendõ ezek egyikére belátni, hogy átfedi a megfelelõ $L_j$, $M_j$ és $R_j$ halmazokat. Legyenek ezek az $L_0$, $M_0$ és $R_0$ halmazok, melyekre bizonyítjuk az átfedéseket. A bizonyítás során nem az $L_{\pm1}$, $M_{\pm1}$ és $R_{\pm1}$ halmazokkal való átfedést fogjuk bizonyítani, hanem a Poincaré-metszetet fogjuk eltolni az $x$ tengely mentén $\mp 2\pi$-vel. Jelöljük a $+2\pi$-vel eltolt Poincaré-leképezést $P^{+}$-szal, és a $-2\pi$-vel eltoltat $P^{-}$-szal. Azt, hogy a leképezés ténylegesen az $L_0$ esetén az $L_{-1}$, $M_{-1}$ és $R_{-1}$ halmazokat fedi át, azt az $L_0$ oldalának a képeinek a megfelelõ eltolásával fogjuk igazolni. Azaz, ha az $L_0$ jobb, illetve bal oldalainak a képét eltoljuk $+2\pi$-vel és azok az $L_0$, $M_0$ és $R_0$ átellenes oldalain vannak, akkor az eredeti képek az $L_{-1}$, $M_{-1}$ és $R_{-1}$ átellenes oldalain kell, hogy legyenek. Az $M_i$ esetén hasonlót bizonyítunk, ha nem toljuk el az oldalak képeit. Az $R_i$ esetében pedig $-2\pi$-vel kell eltolni a jobb és bal oldalainak a képét, azaz a $P^{-}$ leképezést kell használni a megfelelõ átfedéshez.

Jelöljük az $L_0$ és $M_0$ közötti területet $C^L_0$-vel, az $M_0$ és $R_0$ közötti területet $C^R_0$-val. Ekkor az $E$ halmaz tartalmazni fogja az $L_0$, $C^L_0$, $M_0$, $C^R_0$ és $R_0$ felsõ és alsó oldalait, valamint egy-egy innen induló félegyenest függõlegesen fel és le. Az $E$ halmaztól balra, illetve jobbra esõ régiók legyenek az ${\cal O}_L$ és ${\cal O}_R$ halmazok, melyeknek jobb, illetve bal szélei $2\pi$ távolságra lesznek egymástól. Továbbá ne legyen ezeknek közös pontja az $E$ halmazzal, valamint az $L_0$, $C^L_0$, $M_0$, $C^R_0$ és $R_0$ halmazokkal.% Mivel a megfelelõ halmazzal való átfedést az oldalak képei is képesek igazolni, így az $E$ halmaznál ez már nem fontos.

Ezek után a helyesen megválasztott ${\cal O}_L$, ${\cal O}_R$ és $E$ halmazokra az alábbi halmazelméleti tulajdonságoknak kell teljesülnie:
\begin{eqnarray}
&P^{+}(b) \cup P(c) \cup P^{-}(e) \subset {\cal O}_L,\label{eq:IngaProve1}\\
&P^{+}(a) \cup P(d) \cup P^{-}(f) \subset {\cal O}_R,\label{eq:IngaProve2}\\
&P^{+}(L_0) \cup P(M_0) \cup P^{-}(R_0)\subset ({\mathbb{R}}^2 \setminus E),\label{eq:IngaProve3}
\end{eqnarray}
ahol $a,\ldots ,f$ rendre az $L_0$, $M_0$ és $R_0$ halmazok bal és jobb oldalai.

\Az({\ref{eq:IngaProve1}}-\ref{eq:IngaProve3}) feltételek igazolására az eltolások szerint három-három B\&B eljárást fogunk alkalmazni.
