%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{Az inga mozgásának bizonyítása\label{1.3.4}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Az elõzõ feltételek már garantálják, hogy $L_0$ és $R_0$ esetében az áthaladások száma páratlan, és $M_0$ esetében páros. Például $L_0$ esetében az $L_{-1}$, $M_{-1}$ és $R_{-1}$ valamelyikébe került a trajektória, így egyszer biztosan áthaladt az alsó ponton a megfelelõ irányban. Ha további áthaladások is bekövetkeztek volna, akkor egy ellentétes irányú áthaladásnak is lennie kellene, mivel csak ekkor kerülhet a trajektória a megfelelõ halmazba. Azaz elegendõ azt bizonyítani, hogy ilyen ellentétes áthaladások nem történtek. Így a trajektória bármely pontjára az alábbi feltételeknek nem szabad teljesülnie:
$$
\begin{array}{clcc}
\textbf{1.}&\textnormal{ha }x=-2(k-1)\pi, &\textnormal{ akkor }& x'\geq 0;\\
\textbf{2.}&\textnormal{ha }x=2k\pi, &\textnormal{ akkor }& x'\leq 0
\end{array}
$$
az összes $k \in \mathbb{N}^+$-ra. Mivel két átfordulásra nincs szükségünk, ezért a trajektória összes pontjára az alábbi feltételeknek kell teljesülni:
$$
\begin{array}{clcc}
\textbf{1.}&\textnormal{ha }x=0, &\textnormal{ akkor }& x'< 0;\\
\textbf{2.}&\textnormal{ha }x=2\pi, &\textnormal{ akkor }& x'> 0;\\
\textbf{3.}&x\neq 4\pi;\\
\textbf{4.}&x\neq -2\pi.
\end{array}
$$

A bizonyítás során szeretnénk minél könnyebben leírható $L$, $M$ és $R$ halmazt tekinteni, így egyszerû négyszögekkel fogunk próbálkozni. Ekkor elõfordulhat, hogy a bõvebb halmazokra már nem lesz igaz az, hogy az $L$ halmazból induló trajektóriák pontosan egyszer haladnak át az alsó ponton, és hasonlóan a többire sem. Számunkra viszont csak azok a pontok érdekesek, amelyek benne vannak a kaotikus halmazban, így elegendõ csak azokat a trajektóriákat vizsgálni, amelyek a $2\pi$ idõpillanatban az $L$, $M$ és $R$ halmazok valamelyikében vannak. Ezzel az ötlettel tulajdonképpen egy alkalmas szûrést végzünk a megfelelõ halmazokon. Ezek után már egy B\&B eljárás alkalmazása elegendõ lehet a bizonyításhoz.