%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{A bizonyítás futási eredményei és a megfelelõ halmazok\label{1.3.5}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Néhány kísérlet után az alábbi négyszögekkel sikerült bizonyítani Hubbard tételét (lásd \az{\ref{negszogek}}.\ ábrát):
$$
\begin{array}{ccrrccrr}
V^{L_0}_{ul}&=&(\ 1.000,&-0.985\ ),&\: V^{L_0}_{ur}&=&(\ 1.970,&-0.208\ ),\\[2 pt]
V^{L_0}_{ll}&=&(\ 1.226,&-1.350\ ),&\: V^{L_0}_{lr}&=&(\ 2.266,&-0.516\ ),\\[12 pt]
V^{C^L_0}_{ul}&=&(\ 1.970,&-0.208\ ),&\: V^{C^L_0}_{ur}&=&(\ 2.436,& 0.166\ ),\\[2 pt]
V^{C^L_0}_{ll}&=&(\ 2.266,&-0.516\ ),&\: V^{C^L_0}_{lr}&=&(\ 2.758,&-0.123\ ),\\[12 pt]
V^{M_0}_{ul}&=&(\ 2.436,& 0.166\ ),&\: V^{M_0}_{ur}&=&(\ 2.481,& 0.201\ ),\\[2 pt]
V^{M_0}_{ll}&=&(\ 2.758,&-0.123\ ),&\: V^{M_0}_{lr}&=&(\ 2.796,&-0.092\ ),\\[12 pt]
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{ccrrccrr}
V^{C^R_0}_{ul}&=&(\ 2.481,& 0.201\ ),&\: V^{C^R_0}_{ur}&=&(\ 3.197,& 0.775\ ),\\[2 pt]
V^{C^R_0}_{ll}&=&(\ 2.796,&-0.092\ ),&\: V^{C^R_0}_{lr}&=&(\ 3.398,& 0.389\ ),\\[12 pt]
V^{R_0}_{ul}&=&(\ 3.197,& 0.775\ ),&\: V^{R_0}_{ur}&=&(\ 3.800,& 1.258\ ),\\[2 pt]
V^{R_0}_{ll}&=&(\ 3.398,& 0.389\ ),&\: V^{R_0}_{lr}&=&(\ 4.412,& 1.202\ ).
\end{array}
$$

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=.85\textwidth]{Bizonyitas/Figure/Negyszogek.eps}
\caption{A káosz bizonyításának megfelelõ halmazok.}
\label{negszogek}
\end{center}
\end{figure}

A patkó létezésének a bizonyításához szükséges számítási idõ közel fél órányi volt (lásd \az{\ref{PatkoLetInga}}.\ táblázatot). Ez a viszonylag hosszú ellenõrzési idõ kizárttá tette, hogy egy teljesen automatizált keresést alkalmazzunk, de az elõzetes ismeretek alapján az nem is volt indokolt. Mint látható, ha egy valós rendszert szeretnénk vizsgálni, a káosz keresése nehéz és idõigényes lehet. \Az{\ref{IngaIntervallumok}}.\ ábrán láthatóak az ellenõrzött intervallumok \az{(\ref{eq:IngaProve3})} feltétel esetében (a három B\&B eljárás összevont eredménye).
%($P^{+}(L_0 \cup M_0 \cup R_0) \cup P(L_0 \cup M_0 \cup R_0) \cup P^{-}(L_0 \cup M_0 \cup R_0)\subset ({\mathbb{R}}^2 \setminus E)$).
Megfigyelhetõ, hogy az $M$ halmazban nagyon sok kicsi intervallum található. Ez a régió tartalmazza az instabil fixpontot. Azaz, ha a hozzá tartozó $321$-es értékû sajátértékbõl következõ nyújtásra gondolunk, akkor nem is olyan meglepõ, hogy ilyen sok kisméretû intervallum szükséges a bizonyításhoz. 

%\multicolumn{2}
\begin{table}[t]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|r|r|}
\hline
Feltétel & Adott &  Intervallumok & CPU idõ \\
 & halmaz & száma  & (másodperc) \\
\hline\hline
											& $b$ oldal & 53 & 3 \\
\cline{2-4}
(\ref{eq:IngaProve1}) & $c$ oldal & 425 & 21 \\
\cline{2-4}
											& $e$ oldal & 89 & 5 \\
\hline
											& $a$ oldal & 49 & 3 \\
\cline{2-4}
(\ref{eq:IngaProve2}) & $d$ oldal& 543 & 24 \\
\cline{2-4}
											& $f$ oldal& 137 & 8 \\
\hline 
											& $L_0$ négyszög & 3\,653 & 133 \\
\cline{2-4}
(\ref{eq:IngaProve3}) & $M_0$ négyszög & 33\,209 & 1\,097 \\
\cline{2-4}
											& $R_0$ négyszög & 8\,525 & 382 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{A patkó létezésének bizonyításához szükséges CPU idõk és a generált intervallumok száma.}
\label{PatkoLetInga}
\end{center}
\end{table}


\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{Bizonyitas/Figure/Cond31.eps}
\caption{Az ellenõrzött intervallumok.}
\label{IngaIntervallumok}
\end{center}
\end{figure}

A patkó létezése csak a kaotikusságot bizonyítja. A teljes bizonyításhoz az inga mozgására is bizonyítani kell az állításban szereplõ mozgásokat. Az $R$, $M$ és $L$ régiók Poincaré-képei szerepelnek \az{\ref{Poincare_inga}}.\ ábrán. Látható, hogy az $M_i$ régió képe ``átnyúlik'' az $x=0$ és az $x=2\pi$ egyeneseken. Hasonlóan az $L_i$ az $x=-2\pi$-n és az $x=0$-án, valamint az $R_i$ az $x=2\pi$-n és az $x=4\pi$-n. Így nem igaz például, hogy az összes $M_i$-bõl induló trajektória nem megy át az alsó ponton. Így a trajektória mozgásának leírásához szükséges a régiók szûrése az alapján, hogy az eredmény intervallumnak van-e közös pontja a $L_i$, $M_i$ és $R_i$ régiók valamelyikével. Ez a szûrés nyilvánvalóan helyes, ugyanis a kaotikus állapotok között csak ilyen trajektóriák szerepelnek. Ezen megkötés mellett $1\,855$ intervallum képének kiszámításával $90$ másodperc alatt sikerült bizonyítani az inga mozgására kimondott állítást.


\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{Bizonyitas/Figure/Vegso.eps}
\caption{A kényszererõs fékezett inga kaotikus tartományának Poincaré-képei.}
\label{Poincare_inga}
\end{center}
\end{figure}


%$$V=(7.500,2.000)$$
%$$P=(3.398,0.289)$$

