%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{A káosz története}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
A káoszelmélet gyökerei körülbelül 1900-ra nyúlnak vissza, amikor Henri Poincarénak megjelent a háromtest-problémával kapcsolatos dolgozata~\cite{Poincare99}.
Ebben igazolta, hogy három kicsi, egymás gravitációs terében mozgó test leírására szolgáló egyenletrendszer nem integrálható. Poincaré úgy találta, hogy a három test mozgása során lehetnek nem periodikus pályák is.
  
Késõbb G.D. Birkhoff, A.N.\ Kolmogorov, M.L.\ Cartwright, J.E.\ Littlewood, és S.\ Smale a nemlineáris differenciálegyenletekre vonatkozó kutatásaik során figyeltek fel újra erre a furcsa viselkedésre. Smale kivételével mindannyiukat a fizika ihlette a nemlineáris differenciálegyenletek ilyen típusú vizsgálatára. Birkhoff esetében a háromtest-probléma, Kolmogorovnál a turbulencia és csillagászati problémák, míg Cartwright és Littlewood számára a rádiózás volt a vizsgálat tárgya. Bár akkoriban kaotikus bolygópályákat még nem észlelt senki, de nem periodikus oszcillációt áramkörökben már megfigyeltek a kísérletezõk, anélkül, hogy bármiféle elmélettel meg tudták volna azt magyarázni.

Az elmélet egyik úttörõje Edward Lorenz volt, aki munkája során véletlenül ``botlott'' a káoszba. Lorenz idõjárás-elõrejelzéssel foglalkozott, és egy egyszerû számítógépet használt a légkört modellezõ differenciálegyenlet  futtatására. Egy adatsort szeretett volna folytatni, de mivel idõt akart spórolni, így a korábbi szimuláció közbülsõ adatát táplálta vissza a számítógépébe.

Nagy meglepetésére az így kiszámított idõjárás egyre nagyobb mértékben tért el az eredeti számsortól. Eleinte a gép hibájára gyanakodott, de mint kiderült, nem a számítógépben volt a hiba. Lorenz az adatokat a számítógépen 6 tizedesjegy pontosan ábrázolta, de csak 3 tizedesjegy pontossággal nyomtatta ki. Így csak ilyen, 3 tizedesjegy pontossággal tudta begépelni. Rájött, hogy a bevitelkor elkövetett negyedik számjegyben való eltérés okozta a rendkívül nagy divergenciát. Az akkori elgondolások szerint ilyen kis eltérésnek nem lehetett volna ``túl nagy'' hatása. 

Edward Lorenz felfedezte, hogy a kezdõfeltételekben elõforduló, nagyon kis eltérések is okozhatnak idõvel nagy eltéréseket~\cite{Lorenz63}. Egy, ezzel a jelenséggel foglalkozó tanulmányának a címe~\cite{Lorenz72, Lorenz93} -- az azóta híressé vált mondás--: ``Does the flap of a butterfly's wing in Brazil set off a tornado in Texas?'', azaz Brazíliában egy pillangó szárnycsapása okozhat-e tornádót Texasban. A válasz természetesen nem biztos, hogy ``igen'', mivel nem minden állapot érhetõ el természetes esetben. Gondoljunk csak arra, hogy a sivatagban nem várható hóvihar, így ezt egy szárnycsapásnyi eltérés nem okozhatja. A ``nem'' választ sem mondhatjuk biztosra, ugyanis léteznek ilyen érzékeny rendszerek. Érdekességként megjegyezzük, hogy a ``pillangó effektus''-t elõször H.G. Wells említi meg az 1800-as évek végén írt egyik tudományos fantasztikus regényében~\cite{Wells95}.

A káoszelmélet igazi fejlõdése a század közepére tehetõ. Ekkorra egyértelmûvé vált, hogy az uralkodó rendszerelmélet nem tud megmagyarázni bizonyos viselkedéseket. A káoszelmélet fejlõdésének fõ elõsegítõje az elektronikus számítógép felfedezése volt, mivel a káosz matematikájának nagy része egyszerû formulák iterációját jelenti. Ezeknek a kézzel történõ tanulmányozása azonban nehézkes. Az olcsóbb és nagy számítási kapacitással rendelkezõ számítógépek nagyban felgyorsították a káoszelmélet fejlõdésének ütemét. A káoszelmélet napjainkban is rendkívül aktív kutatási terület. Magát a káosz szót a matematikába James A.\ Yorke alkalmazott matematikus vezette be.


