%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{A káosz definíciója\label{1.1.1}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Egy rendszer kaotikusságához a legismertebb definíció szerint három tulajdonságnak kell teljesülnie a rendszerre~\cite{Devaney89, Wiki}. Vegyük sorra ezeket, melyekben ${\cal{J}}$ tetszõleges halmaz lehet.

\begin{defc}
Az $f:{\cal{J}}\rightarrow {\cal{J}}$ leképezés érzékenyen függ a kezdeti adatoktól, ha $\exists \delta > 0$, $\forall x \in {\cal{J}}$ és az $x$ $\forall N_x$ környezetére $\exists y \in N_x$ és $\exists n \geq 0$, hogy $\left|f^n(x)-f^n(y)\right|>\delta$.
\end{defc}

Az elõzõ definíció azt jelenti, hogy bármely két kezdõállapotból indulva -- legyenek bármilyen közel is egymáshoz -- idõvel pozitív mértékben eltávolodhatnak egymástól a megoldások. Egy idõtõl független determinisztikus rendszerben azonban azonos kezdõállapotból indított megoldások mindig azonosak maradnak. %Szemléltetõ példaként említhetjük a "pillangóeffektust": egy pillangó szárnycsapása apró változást kelt a légkörben, ami az idõ múlásával annyira eltérhet a pillangó szárnycsapása nélküli idõjárástól, hogy a különbség akár egy tornádónyi is lehet.

\begin{defc}
Az $f:{\cal{J}}\rightarrow {\cal{J}}$ leképezés topologikusan keverõ (topologically mixing), ha $\forall U,V \subset {\cal{J}}$ nyílt halmazra $\exists N>0$, hogy $\forall n>N$-re $f^n\left(U\right) \cap V \neq \emptyset$.
\end{defc}

A ``topologikusan keverõ'' tulajdonság azt jelenti, hogy az összes nyitott halmaz egy idõ múlva átfedi bármely másik, adott régiót. Azaz egy idõ múlva a két régió összekeveredik egymással. Ebbõl a keveredési tulajdonságból származik a keverõ elnevezés.
%Az idõjárásos példánkon ez azt jelenti, hogy egy megfelelõ pici változtatással, akár egy tornádónyi különbséget is el tudunk érni.

\begin{defc}
Az $A$ halmaz sûrû $X$-ben, ha $\overline{A} \supset X$, ahol $\overline{A}$ az $A$ lezártja, azaz $\overline{A}=A \cup \left\{ A \textnormal{ torlódási pontjai}\right\}$.
\end{defc}

Formálisan ez azt jelenti, hogy ha $A$ sûrû $X$-ben, akkor minden $X$-beli pont minden környezete tartalmaz legalább egy pontot $A$-ból. Például a racionális számok sûrûk a $\left[0,1\right]$ intervallumban.

\begin{defc}
Az $f:{\cal{J}}\rightarrow {\cal{J}}$ leképezés $x \in {\cal{J}}$ pontját periodikusnak mondjuk, ha $\exists n > 0$, hogy $f^n(x)=x$.
\end{defc}

Ez azt jelenti, hogy ha egy pontra egymás után alkalmazzuk a $f$ leképezést, akkor a pontok sorozata periodikusan ismétlõdik. A legkisebb olyan pozitív $n$ számot, melyre teljesül a definícióban szereplõ feltétel, szokás még $x$ minimális periódusának is nevezni. Az $x$ pontot $n$-periodikus pontnak, valamint az $n=1$ esetben fixpontnak is hívják.

Ezen definíciók után nézzük, hogy mikor mondjuk, hogy egy rendszer kaotikus.
\newpage
\begin{defc}
Az $f:{\cal{J}}\rightarrow {\cal{J}}$ leképezés kaotikus, ha
\begin{description}
\item[1.]$f$ érzékenyen függ a kezdeti adatoktól,
\item[2.]$f$ topologikusan keverõ, és
\item[3.]$f$ periodikus pontjainak halmaza sûrû $\cal{J}$-ben.
\end{description}
\label{kaoszdef}
\end{defc}

Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy egy rendszer nem attól kaotikus, hogy nem lehet meghatározni a trajektóriákat, hanem attól, hogy a rendszerben egy kis számítási hiba idõvel nagyra is nõhet és lényegesen eltérõ viselkedéseket eredményezhet.

Tekintsünk pár példát kaotikus rendszerekre.
\begin{itemize}
\item Folytonos idejû rendszerek:
\begin{itemize}
\item kettõs inga,
\item Lorenz-modell,
\item dinamikai biliárd,
\item mágneses inga, 
\item csigán lengõ test; 
\end{itemize}
\item Diszkrét idejû rendszerek:
\begin{itemize}
\item pék-leképezés, 
\item Hénon-leképezés, 
\item Ikeda-leképezés. 
\end{itemize}
\end{itemize}

