%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{Egy praktikus feltétel a káosz létezésére\label{1.1.2}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Egy rendszer kaotikusságát többféle módon is jellemezhetjük:
\begin{itemize}
\item az attraktor fraktál dimenziójával,
\item a Lyapunov exponenssel, 
\item a bifurkációs diagrammal, vagy
\item a Poincaré-leképezéssel.
\end{itemize}

A fraktáldimenziót úgy határozhatjuk meg, hogy a fraktált lefedjük különbözõ méretû négyzetekkel, és megszámoljuk, hogy adott $s$ élhosszúságú négyzetbõl hány darab szükséges a lefedéséhez. Amennyiben a lefedéshez szükséges négyzetek $N(s)$ száma $s^{-D}$-vel arányosan nõ az élhosszúság csökkenésével, a $D$ számot a fraktál dimenziójának nevezzük, melynek nagysága utal a káosz nagyságára. Míg a Lyapunov-exponens a kezdeti pontatlanság exponenciális növekedésének sebességét  számszerûsíti, és ezzel a káosz létezésére adhat bizonyítékot. A bifurkációs diagramm esetében a periodikus pontok számának növekedésének alakulását láthatjuk egy paraméter függvényében, és ez nyújthat bizonyosságot a káoszra. De ezekkel jelen dolgozatban nem foglalkozunk.

A felsoroltak közül mi most csak a Poincaré-leképezést fogjuk alkalmazni a bizonyításhoz. Megmutatható, hogy a Poincaré-leképezések pontosan akkor kaotikusak, ha az eredeti folytonos rendszer is az volt~\cite{Wiggins03}. Emiatt elegendõ diszkrét dinamikai rendszerekkel foglalkozni, ha a kaotikus viselkedés általános tulajdonságait, törvényszerûségeit keressük. 

\begin{defc}
Tekintsünk egy $n$ dimenziós determinisztikus dinamikus rendszert, továbbá egy $S$-el jelölt $(n-1)$-dimenziós hipersíkot. Az $S$-bõl indított trajektória elsõ metszéspontja az $S$ hipersíkkal a Poincaré-, vagy stroboszkópikus-leképezés. 
\end{defc}

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=.7\textwidth]{Kaosz/Figure/diff3.eps}
\caption{A Poincaré-leképezés illusztrálása.}
\label{poincare}
\end{center}
\end{figure}
A Poincaré-leképezésre egy lehetséges példa: egy egyszerû, légellenállás mentes inga sebességét feljegyezzük akkor, amikor a függõleges helyzeten áthalad. Mivel az egyszerû inga nem kaotikus rendszer, ezért mindig ugyanazt a sebességet fogjuk feljegyezni. 

Jelen dolgozatban csak kétváltozós rendszerekkel foglalkozunk. Az idõt is figyelembe véve már egy háromdimenziós rendszert kapunk. Ebben az esetben az idõre vonatkozó hipersík mindig valamely adott idõpillanat által meghatározott kétdimenziós síkot fogja jelenteni (lásd \az{\ref{poincare}}.\ ábrát).

\Az{\ref{kaoszdef}}.\ Definícióban szereplõ három feltétel csak speciális esetekben bizonyítható egy rendszerre. Nézzünk egy több esetben is alkalmazható feltételt a kaotikus régió létezésére, melyhez a Poincaré-leképezést használjuk. 

Kezdetben ezen tételhez hasonló állítások bizonyításához a Brouwer-fokszámot és/vagy a Conley-indexet használták fel~\cite{Gidea04,Pireddu05}. Néhány speciális rendszer kaotikusságának számítógépes bizonyítása~\cite{Zgliczynski96, Zgliczynski99} már sugallta a Brouwer-féle fixponttétel használatát \az{\ref{praktikustetel}}.\ Tétel bizonyítására. Az elsõ ilyen fixponttételt használó bizonyítást Papini és Zanolin adta egy kétdimenziós esetben~\cite{Papini04}. A tétel egzakt bizonyításában a fixponttétel általánosabb változatát a Lagrange-féle középértéktételt, vagy ennek a magasabb dimenziós változatát a Miranda tételt használjuk.

\Az{\ref{praktikustetel}}.\ Tételre és az ahhoz szükséges \ref{letezikpont}.\ Lemmára itt nem adunk egzakt matematikai bizonyítást, csak rámutatunk a bizonyítás lényeges pontjaira.

\begin{tet}
Legyen $X=\mathbb{R}^2$ a Poincaré-metszet, melyen vegyük az alábbi kétdimenziós tartományokat:
$$E = \left\{ x \in X \ \big| \ 1 \leq |x_1| \leq 2, |x_2| \geq 2 \right\},$$
$${\cal O}_L = \{ x \in X \ \big| \ x_1 < -2 \}, \ \ {\cal O}_C = \{ x \in X \ \big| \ |x_1| \leq 1 \},\ \ {\cal O}_R = \{ x \in X \ \big| \ x_1 > 2 \},$$
$$L = \{ x \in X \ \big| \:-2 \leq x_1 \leq -1 , |x_2| \leq 2 \},\ \ R = \{ x \in X \ \big| \ 1 \leq x_1 \leq 2 , |x_2| \leq 2 \},$$
$$a = L \cap {{\cal O}_L, \ b = L \cap {\cal O}_C, \ c = R \cap {\cal O}_C, \ d = R \cap {\cal O}_R}.$$

Vegyünk egy folytonos $\varphi: L \cup R \rightarrow X$ Poincaré-leképezést, amelyre igaz, hogy

$$ \varphi(a) \cup \varphi(d) \subset {\cal O}_R,\ \varphi(b) \cup \varphi(c) \subset {\cal O}_L,$$
$$ \textnormal{ és } \varphi(L \cup R) \subset X \setminus E$$
(lásd \az{\ref{f1}}.\ ábrát). Ekkor $\varphi$ rendelkezik kaotikus régióval $L \cup R$-en.
\label{praktikustetel}
\end{tet}

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=.7\textwidth]{Kaosz/Figure/AlapSzerk.eps}
\caption{Az $L$, $R$ halmaz és képeinek szükséges viszonya.}
\label{f1}
\end{center}
\end{figure}

A tétel bizonyításához szükségünk van \az{\ref{letezikpont}}.\ Lemmára.

\begin{lemm}
\Az{\ref{praktikustetel}}.\ Tételben megadott esetben, adott
$L$--$R$ mindkét irányban v\'egtelen sorozathoz (${ \{ Q_{\gamma_k} \} }_{k \in {\mathbb{Z}}}$, ha $\gamma_k \in \{0,1\}$, és $Q_0 = L$, $Q_1 = R$)
l\'etezik olyan pontsorozat (${ \{ x_k \} }_{k \in {\mathbb{Z}}} \subset X$),
hogy $x_{k+1} = \varphi(x_k)$ \'es $x_k \in Q_{\gamma_k}$
minden $k \in {\mathbb{Z}}$-re.
\label{letezikpont}
\end{lemm}
\begin{biz} \emph{(\Az{\ref{letezikpont}}.\ Lemma bizonyítása.)}

\noindent
$\varphi(L)$ és $\varphi(R)$ átfedi mind $L$-et, mind $R$-et. Vegyük a $\varphi^{-1}(\varphi(L) \cap L)$-et. Ez egy olyan régió $L$-ben, melynek képe átfedi $L$-et. Az $L$ $a$ és $b$ oldala lefedi a tekintett régió képének széleit. Mivel az $a$ és $b$ oldalak képei az $L$ és $R$ régiók ellentétes oldalain vannak, így a $(\varphi(L) \cap L)$ kép képe úgyszintén átfedi $L$-et és $R$-et is. Tekintsük a $\varphi^{-2}(\varphi(\varphi(L) \cap L)\cap L)$-et és $\varphi^{-2}(\varphi(\varphi(L) \cap L)\cap R)$-et. Ez két olyan régió a \mbox{$\varphi^{-1}(\varphi(L) \cap L)$-ben}, melyeknek a második képe átfedi $L$-et és $R$-et is. Ezt a gondolatmenetet $R$-re megismételve és folytatva a további iteráltakra, kialakul minden véges sorozathoz egy halmaz, melybõl bármely pont iteráltjai az adott sorozatot írják le. Így egy tetszõleges végtelen sorozathoz találhatunk megfelelõ pontot.

A mindkét irányban vételen sorozatokhoz pedig úgy találhatunk megfelelõ pontot, hogy vegyük a sorozat korábbi elemeit és ahhoz találjunk megfelelõ pontot, majd alkalmazzuk a pontra a leképezést. Folytonos leképezés esetén ezen, egyre korábbi sorozatokhoz tartozó megfelelõ pontoknak van torlódási pontja, mely alkalmas lesz a mindkét irányban végtelen sorozathoz. Ezzel az állítást igazoltuk. 

Ezen, mindkét irányban végtelen sorozatokhoz tartó ponthalmaz a rendszer egy kaotikus régiója. Az így kialakult halmazt szokás Cantor-szerû halmaznak nevezni (lásd \az{\ref{cantor}}.\ ábrát). 
\end{biz}

\begin{figure}[th]
\begin{center}
\includegraphics[width=4 cm]{Kaosz/Figure/Cantor.eps}
\caption{Cantor-szerû halmaz.}
\label{cantor}
\end{center}
\end{figure}


\begin{biz} \emph{(\Az{\ref{praktikustetel}}.\ Tétel bizonyítása.)}

\noindent
Elõször vizsgáljuk meg, hogyan láthatjuk be a kezdõfeltételekre való érzékenységet. Legyen $\delta$ az $L$ és $R$ tartományok távolsága. Ez a távolság pozitív, mivel $L$ és $R$ diszjunktak és zártak. Vegyünk egy tetszõleges pontot, legyen a hozzá tartozó sorozat $S$. Ezen pont környezetében a folytonosságból adódik, hogy léteznek olyan pontok, melyekhez tartozó sorozatok eleje megegyezik $S$ elejével, de ezen egyezõ rész után más szimbólum következik. Legyen az $n.$ szimbólum az elsõ eltérõ szimbólum. Ha a leképezést $(n-1)$-szer alkalmazzuk a pontokra, akkor az egyik pont képe az $L$, míg a másiké az $R$ régióba kerül. Így a távolságuk legalább $\delta$, mellyel az elsõ állítást igazoltuk.

A második állítás az, hogy ez a leképezés topologikusan keverõ. Vegyünk egy nyílt halmazt, és abban egy pontot. A hozzá tartozó sorozat legyen $S$. Mivel az eredeti halmaz nyitott, így a pont környezetében találhatunk olyan halmazt \az{\ref{letezikpont}}.\ Lemma alapján, amelyhez tartozó sorozatok eleje megegyezik $S$ elejével, és az utána levõ sorozatok az összes lehetséges sorozatot leírják. Azaz, ha az egyezõ sorozat hossza $n$, akkor a leképezést $(n-1)$-szer ismételve egy olyan halmazt kapunk, amely az összes pontot tartalmazza a kaotikus régióból, vagyis tetszõleges másik halmazt lefed. Ezzel igazoltuk a második állítást.

A harmadik állításhoz vegyünk egy tetszõleges pontot. Legyen a hozzá tartozó sorozat $S$. Ha $S$ periodikus, akkor a harmadik feltételben szereplõ tartalmazás egyértelmû. Ha $S$ nem periodikus, akkor vegyük csak az $S$ elsõ szimbólumát tartalmazó sorozathoz tartozó periodikus pontot, majd vegyük az elsõ két szimbólumhoz tartozó periodikus pontot, és így tovább. Ebben az esetben ezen periodikus sorozatok torlódási pontja $S$, így a tartalmazást is beláttuk. Ezzel a harmadik állítást is igazoltuk, mellyel bizonyítottuk, hogy a fent definiált leképezésnek van kaotikus régiója.
\end{biz}

Ez a fajta kaotikus viselkedés az úgynevezett ``\mbox{$L$-$R$}'' típusú káosz. A feltételek egy ``$U$'' típusú, úgynevezett Smale-patkó létezésének a feltételei. \Az{\ref{patkok}}.\ táblázatban különbözõ típusú káoszt mutatunk be a hozzájuk tartozó feltételekkel. Megjegyezzük, hogy az $L$ és $R$ közötti régiónak a képe belemetszhet az $E$ halmazba, mely a $G$ patkó illusztrálásánál látható is. Egyébként, ha ez a belemetszés nem történik meg, akkor egy bonyolultabb patkószerkezet is létezhet. Például, a $G$ patkó esetén egy \mbox{$L$-$M$-$R$} típusú káosz teljes $S$ patkóval. Továbbá, a nem teljes $S$ patkónál az $a$ és $f$ oldalaknak nem szükséges az ${\cal O}_{C_1}$ és ${\cal O}_{C_2}$ régiókba esniük, hanem elegendõ az $M$ régiótól jobbra, illetve balra esnie. Ezt a késõbbiekben részletesen tárgyaljuk. 

\begin{table}[p]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
&&&&\\[-0.3 cm]
\mbox{$L$-$R$} típusú káosz &\vspace{0.1 cm}&\mbox{$L$-$R$} típusú káosz &\vspace{0.1 cm}& \mbox{$L$-$R$} típusú káosz\\[-0.3 cm]
$U$ patkóval&&  fordított $U$ patkóval && $G$ patkóval\\[0.4 cm]
\includegraphics[width=0.28\textwidth]{Kaosz/Figure/Upatko.eps} && \includegraphics[width=0.28\textwidth]{Kaosz/Figure/forditottUpatko.eps}  && \includegraphics[width=0.28\textwidth]{Kaosz/Figure/Gpatko.eps} \\[0.2 cm]
$ \varphi(a \cup d) \subset {\cal O}_R $&&$ \varphi(a \cup d) \subset {\cal O}_L $&&$ \varphi(a \cup c) \subset {\cal O}_L$\\
$ \varphi(b \cup c) \subset {\cal O}_L $&&$ \varphi(b \cup c) \subset {\cal O}_R $&&$ \varphi(b \cup d) \subset {\cal O}_R$\\
$ \varphi(L \cup R) \subset ({\mathbb{R}}^2 \setminus E) $&&$ \varphi(L \cup R) \subset ({\mathbb{R}}^2 \setminus E) $&&$ \varphi(L \cup R) \subset ({\mathbb{R}}^2 \setminus E)$\\[0.2 cm]
\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabular}
\\[2 cm]
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\cline{1-1}\cline{3-3}
&&\\[-0.3 cm]
\mbox{$L$-$M$-$R$} típusú káosz &\vspace{0.2 cm}&\mbox{$L$-$M$-$R$} típusú káosz\\[-0.3 cm]
nem teljes $S$ patkóval && $UG$ patkóval\\[0.4 cm]
\includegraphics[width=0.40\textwidth]{Kaosz/Figure/Spatko.eps} && \includegraphics[width=0.40\textwidth]{Kaosz/Figure/UGpatko.eps}  \\[0.2 cm]
$ \varphi(d \cup e) \subset {\cal O}_R;\ \varphi(a) \subset {\cal O}_{C_1} $&&$ \varphi(a \cup d \cup f) \subset {\cal O}_R $\\
$ \varphi(b \cup c) \subset {\cal O}_L;\ \varphi(f) \subset {\cal O}_{C_2}  $&&$ \varphi(b \cup c \cup e) \subset {\cal O}_L $\\
$ \varphi(L \cup M \cup R) \subset ({\mathbb{R}}^2 \setminus E) $&&$ \varphi(L \cup M \cup R) \subset ({\mathbb{R}}^2 \setminus E) $\\[0.2 cm]
\cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabular}
\caption{5 különbözõ patkó szerkezete. Az egyes patkókhoz tartozó geometriai szerkezetet mutató ábrák felett szerepel a káosz és a patkó típusa, alatta pedig a szükséges halmazelméleti feltételek.}
\label{patkok}
\end{center}
\end{table}

Az $U$ és $G$ patkók esetében az összes \mbox{$L$-$R$} sorozathoz létezik azt megvalósító pont. A sorozatokat leíró gráfot \az{\ref{g1}} ábrán láthatjuk. Az $UG$ patkóban észrevehetünk egy teljes $U$, illetve $G$ patkót. E rendszer esetében az összes \mbox{$L$-$M$-$R$} sorozathoz létezik azt megvalósító pont. Az ilyen sorozatokat leíró gráfot \az{\ref{g3}} ábrán láthatjuk. Az $S$ típusú patkó esetén két $U$ típusú patkó összekapcsolódását vehetjük észre. Ebben az esetben nem létezik az összes \mbox{$L$-$M$-$R$} típusú sorozathoz pont. Az olyan sorozatokhoz nem tudjuk bizonyítani a megfelelõ pont létezését, amelyben az $LR$ vagy az $RL$ kombináció valamelyike elõfordul. Az ilyen sorozatokat leíró gráfot \az{\ref{g2}} ábrán láthatjuk.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\subfigure[A teljes \mbox{$L$-$R$} sorozatot leíró gráf.]{
\includegraphics[width=.20\textwidth]{Kaosz/Figure/Graf1.eps}
\label{g1}
}
\hspace{2 cm}
\subfigure[A nem teljes \mbox{$L$-$M$-$R$} sorozatot leíró gráf.]{
\includegraphics[width=.37\textwidth]{Kaosz/Figure/Graf2.eps}
\label{g2}
}
\subfigure[A teljes \mbox{$L$-$M$-$R$} sorozatot leíró gráf.]{
\includegraphics[width=.37\textwidth]{Kaosz/Figure/Graf3.eps}
\label{g3}
}
\caption{A sorozatokat leíró gráfok.}
\end{center}
\end{figure}

Ezen struktúrák túl speciálisak, és ezeket a specialitásokat erõsen kihasználják a káosz létezésének bizonyítása során. Egy bonyolultabb struktúra esetén rendszerint egy homeomorf leképezést mutatnak a vizsgált rendszer és ezen struktúrák között.

A vizsgált kényszererõs fékeztett inga esetében az $UG$ patkó létezését fogjuk megmutani.