%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{Az egyszerû inga kontroll függvénye\label{3.4.1}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
A szakirodalmakban gyakran vizsgált mechanikai rendszer a fordított inga (inverted pendulum). Ezt gyakran úgy prezentálják, hogy egy kicsi kocsin van egy álló -- nem lógó -- inga (lásd \az{\ref{FordInga}}.\ ábrán). A kocsi azt a szerepet tölti be, hogy az inga ``felfüggesztési'' pontját jobbra, illetve balra lehessen mozgatni. Ezen mozgással, pontosabban ilyen irányú erõkkel próbálják a kocsin lévõ ingát függõleges helyzetben tartani, azaz az eredetileg instabil állapotát stabilizálni. Az erõ nagysága rendszerint függ az inga függõlegessel éppen bezárt szögétõl, továbbá néhány esetben az inga forgási sebességétõl is. Mivel itt a dinamikai rendszerre ható külsõ erõ nagysága függ az éppen aktuális inga állapotaitól, így ezen stabilizáló hatást a visszacsatolásos technikák közé sorolják. Jelen dolgozatban a rendszerre ható erõ csak a inga szögétõl fog függni, továbbá csak a folytonos visszacsatolással fogunk foglalkozni.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth, angle=-90]{Kontroll/Figure/Cart-pendulum.eps}
\caption{A fordított inga (a www.wikipedia.com-ról).}
\label{FordInga}
\end{center}
\end{figure}

Elõször vizsgáljuk meg a hagyományos, kényszererõ nélküli fékezett ingára gyakorolt hatását az ilyen típusú erõnek. Az erõ nagysága függjön az inga függõlegessel éppen bezárt szögétõl lineárisan, azaz a felfüggesztési pontra ható erõ nagysága legyen:
$$ p(x-\pi),$$
ahol p egy paraméter. Majd ezen rendszer stabilitásának vizsgálatához használjuk ismét a variációs egyenlet módszerét. Így a multilikátor kiszámításához használt differenciálegyenlet-rendszer a következõ:

\begin{eqnarray*}
z_1'(t) &=& z_2(t) ,\\
z_2'(t) &=& -sin(z_1(t))+ p(z_1(t)-\pi)cos(z_1(t))- 0.1z_2(t) ,\\
z_3'(t) &=& z_4(t)  ,\\
z_4'(t) &=& (\left(-1 + p )cos(z_1(t)) - p(z_1(t)-\pi)sin(z_1(t)) \right)z_3(t)-0.1z_4'(t) .\\
\end{eqnarray*}


Jelen esetben nincs periodikusság a rendszerben, így nem kell hozzá igazítani a vizsgálandó idõ nagyságát. Megjegyzendõ, hogy a idõ nagysága nem befolyásolja a sajátértékek 1-hez viszonyított helyzetét, csak a tõle lévõ távolságát. Ezen észrevétel után vizsgáljuk meg, hogyan alakul a felsõ kezdetben instabil állapot stabilizálása a $p$ paraméter függvényében. Az így kapott multiplikátorokat láthatjuk, \az{\ref{Per_eig2}}.\ ábrán. Az ábrán észrevehetõ, hogy körübelül $p=0.5$-nél lesz mindkét sajátérték valós része 1-nél kisebb, azaz ekkor következik be a stabilizálódás. 
 
\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Kontroll/Figure/Per_eig.eps}
\caption{Az sajátértékek valós részének abszolút értékének alakulása.}
\label{Per_eig2}
\end{center}
\end{figure}

