%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{A kényszererõs fékezett inga kontroll függvénye\label{3.4.2}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%

Az elõzõ fordított inga stabilizálásának analógiájára próbálkozzunk meg az általunk vizsgált kényszererõs fékezett inga stabilizálásával. Ismét legyen a felsõ instabil megoldás az $\hat x(t)$. Ezen megoldás stabilizáláshoz felhasznált vízszintes erõ nagysága függjön az inga szöge és ezen $\hat x(t)$ megoldás különbségétõl lineárisan. Azaz az erõ nagysága legyen 
$$ p(x(t)-\hat x(t)),$$
ahol $p$ egy paraméter.

Ezzel a plussz külsõ erõvel a kényszererõs fékezett ingánk differenciálegyenlete az alábbi módon alakul:
$$
x''(t)=-\sin(x)+p(x(t)-\hat x(t)) \cos(x(t))-0.1x'+\cos(t).
$$

Jelen esetben a $p=2$-nél tapasztaltunk stabilizálódást, mely látható \az{\ref{Kontrollalas}}.\ ábrán.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\subfigure[Kontroll nélküli kaotikus mozgás.]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Kontroll/Figure/NC_pelda.eps}
}
\subfigure[Kontrollált mozgás.]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Kontroll/Figure/Control_pelda.eps}
}
\caption{A kényszererõs inga stabilizálódása.}
\label{Kontrollalas}
\end{center}
\end{figure}

Ennek bizonyításához, szintén a multiplikátor módszerét fogjuk alkalmazni. A multiplikátorok kiszámításhoz az alábbi differenciálegyenlet-rendszert kell vizsgálni:

\begin{eqnarray*}
z_1'(t) &=& z_2'(t),\\
z_2'(t) &=& -\sin(z_1(t)) -0.1z_1(t) + \cos(t), \\
z_3'(t) &=& z_4'(t),\\
z_4'(t) &=& -\sin(z_3(t)) -0.1 z_4(t)+ 2(z_3(t) - z_1(t))\cos(z_3(t)) + \cos(t),\\				
z_5'(t) &=& z_6'(t),\\
z_6'(t) &=& \left(-\cos(z_3(t)) +2\cos(z_3(t))-2(z_3(t)-z_1(t))\sin(z_3(t))\right)z_5(t) - 0.1z_6(t).\\
\end{eqnarray*}

A $z_1$ és a $z_2$ ismét megegyezik az eredeti kényszererõs inga egyenletrendszerével, melynek szerepe az éppen aktuális periódikus megoldás nyilvántartása, míg a $z_3$ és $z_4$ kontrollal ellátott egyenletrendszer, a $z_5$ és $z_6$ pedig a multiplikátorok kiszámítását végzi.

A módszerrel kapott mátrix sajátértékeire az alábbiakat kaptuk:
$$\lambda^1=[0.718038,0.718075] + [1.33514,1.33939] \iu,$$
és
$$\lambda^2=[-0.416498,-0.415888] - [1.33514,1.33939] \iu,$$
azaz ez a pálya a kontrollal stabil.

