%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{Az egyszerû inga stabilizálása\label{1.4.1}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Kétféle stabilizálási eljárást ismertet a szakirodalom. Az egyik az, amikor a dinamikai rendszer állapotától függõen befolyásoljuk a rendszert. Ezt vagy  folytonosan, vagy diszkrét idõközönként tehetjük meg. Ez a típusú kontroll, melyet ``visszacsatolásos technikának'' is neveznek, a kezdõ állapotok sokkal szélesebb körére stabilizálja a kívánt állapotot.
A másik eljárás az, amikor a dinamikai rendszer éppen aktuális állapotától nem függ a rendszerre ható erõ. Ebben az esetben a kezdõ állapotok sokkal kisebb halmazára tapasztalható a stabilizálódás. Jelen esetben ezen második eljárással foglalkozunk.

Ismert az a tény, hogy az egyszerû inga felsõ egyensúlyi állapota instabil. Bizonyított~\cite{Arnold78}, hogy a felfüggesztés megfelelõ mozgatásával ezt stabillá lehet tenni. Egy ilyen eredményt érhetünk el a felfüggesztési pont adott periódusú és nagyságú függõleges irányú oszcilláló mozgatásával (Ezt a rendszert szokták Kapica ingának is nevezni, a szovjet P.~L.~Kapica fizikus után, aki elösször figyelte meg a most tárgyalt jelenséget). Ennek a mozgásnak a gyorsulása legyen $$\frac{8ap^2}{l}\sin(pt),$$ahol $a$ a kitérés amplitúdója, $l$ az inga hossza, és $p$ a kitérések száma $2\pi$ idõ alatt. Ekkor a hagyományos inga differenciálegyenlete az alábbi formában írható fel:
$$ x''(t)=\left(-\frac{g}{l} + \frac{8ap^2}{l}\sin(pt) \right)\sin x -\gamma x'.$$

A stabilitás vizsgálatához alkalmazhatjuk a korábban is használt variációs egyenlet módszerét. Jelen esetben ismert, hogy az ingának két fixpontja van, melyek közül az egyik stabil (az alsó egyensúlyi állapot), a másik pedig instabil (a felsõ egyensúlyi állapot). Vizsgálataink most a felsõ egyensúlyi állapotra koncentrálódnak és ezt szeretnénk stabillá tenni. A fenti egyenlet periódusideje $\frac{2\pi}{p}$, azaz ilyen hosszan fogjuk vizsgálni a variációs egyenletrendszert. Ezen idõ alatt a periodikus pálya ismert (konstans $\pi$), így nincs szükségünk a pálya kiszámítására. Ezen észrevételekkel az egyenletrendszer az alábbi módon adható meg:
\begin{eqnarray*}
&z_3'(t)=z_4(t),\\
&z_4'(t)=\left( -\frac{g}{l} + \frac{8ap^2}{l}\sin(pt) \right)z_3(t)-\gamma z_4(t).
\end{eqnarray*}

További vizsgálatainkban a kaotikus kényszererõs fékezett ingához legjobban hasonlító rendszert vizsgáltuk, azaz $\gamma=1$ és $l=g=9.81$. 
Megvizsgáltuk, hogy milyen gyorsan kell mozgatni a felfüggesztési pontot, ha azt szeretnénk, hogy a felsõ egyensúlyi állapot stabilizálódjon. Ehhez az kell, hogy teljesüljön az, hogy a fent említett differenciálegyenlet-rendszerrel kapott mátrix sajátértékeinek abszolút értékei 1-nél kisebbek legyenek. Konstans $a=1$ és különbözõ $p$ paraméterek mellett \az{\ref{Per_eig}}.\ ábra jeleníti meg ezen értékeket.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Stabil/Figure/Per_eig.eps}
\caption{Az sajátértékek valós részének abszolút értékének alakulása.}
\label{Per_eig}
\end{center}
\end{figure}

