%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{A kényszererõs fékezett inga stabilizálása\label{1.4.2}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Az elõzõ módszer analógiájára, a kaotikus kényszererõs fékezett inga stabilizálásával próbálkozunk. Legyen a kényszererõs fékezett inga felsõ instabil periodikus megoldásának a szöge az idõ függvényében $\hat{x}(t)$.
Az elõzõ eredmények alapján sejthetõ, hogy egy $\hat{x}(t)$ irányú és $\frac{8ap^2}{l}\sin(pt)$ értékkel gyorsuló felfüggesztési ponttal rendelkezõ kényszererõs fékezett ingának stabilizálódik a felsõ instabil egyensúlyi pályája valamely $a$ és $p$ paraméterre. Ebben az esetben a középpont függõleges irányú gyorsulása:
$$ \cos(\hat{x}(t))\frac{8ap^2}{l}\sin(pt)=\omega_f,$$
a vízszintes irányú gyorsulása pedig:
$$ \sin(\hat{x}(t))\frac{8ap^2}{l}\sin(pt)=\omega_v.$$
Ekkor az alábbi formában írható fel a differenciálegyenlet:
$$
x''(t)=\left(-1-\omega_f\right)\sin(x)+\omega_v \cos(x(t))-0.1x'+\cos(t).
$$

Az $a=0.5$ és $p=4$ paraméterekkel következett be egy stabilizálódás. Ezt mutatja \az{\ref{Stabilizalas}}.\ ábra. \Az{\ref{Felso_palya}} ábrán az inga szögének alakulását láthatjuk az idõ függvényében a felsõ instabil állapotban. Ezzel a mozgatással ezt az instabil állapotot szeretnénk stabilizálni. Egy közeli állapotból indított inga szögének alakulását láthatjuk \az{\ref{Kontrol_nelkul}} ábrán. Majd ugyanezen állapotból a mozgással ellátott rendszer alakulását mutatja \az{\ref{Kontrollal}} ábra. Sejthetõ, hogy ezen külsõ mozgatás hatására az inga szöge tart a felsõ pályához és ez stabilizálja a tekintett pályát.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\subfigure[Felsõ instabil pálya.]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Stabil/Figure/Felso_pelda.eps}
\label{Felso_palya}
}\\
\subfigure[Kontroll nélküli kaotikus mozgás.]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Stabil/Figure/NC_pelda.eps}
\label{Kontrol_nelkul}
}
\subfigure[Kontrollált mozgás.]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Stabil/Figure/Control_pelda.eps}
\label{Kontrollal}
}
\caption{A kényszererõs inga stabilizálódása.}
\label{Stabilizalas}
\end{center}
\end{figure}

A bizonyításhoz a Poincaré-metszeteken alkalmazott multiplikátor módszert alkalmazzuk. Ennek vizsgálatához a kényszererõ periódusának, és a középpont gyorsulásának periódusának összemérhetõnek kell lennie. Ez jelen esetben igaz, és a minimális közös periódus $2\pi$. A vizsgálandó differenciálegyenlet az alábbi módon alakul:
\begin{eqnarray*}
z_1'(t) &=& z_2'(t),\\
z_2'(t) &=& -0.1z_2(t) -\sin\left(z_1(t)\right) + \cos(t), \\
z_3'(t) &=& z_4'(t),\\
z_4'(t) &=& \left(-1-\cos\left(z_1(t)\right)\frac{8ap^2}{l}\sin(pt)\right)\sin(z_3(t)) +\\
				&&+ \left( \sin\left(z_1(t)\right)\frac{8ap^2}{l}\sin(pt) \right) \cos(z_3(t))-0.1 z_4(t)+\cos(t),\\				
z_5'(t) &=& z_6'(t),\\
z_6'(t) &=& \left(\left(-1-\cos\left(z_1(t)\right)\frac{8ap^2}{l}\sin(pt)\right)\cos(z_3(t)) -\right.\\
			  &&\left.- \left(sin(z_1(t))\frac{8ap^2}{l}\sin(pt)sin(pt)\right)\sin(z_3(t)) \right)z_5(t) - bz_6(t) .\\
\end{eqnarray*}

A $z_1$ és $z_2$ megegyezik az eredeti kényszererõs fékezett inga egyenletrendszerével. Ennek feladata a periodikus megoldás kiszámítása, mely segítségével meg tudjuk határozni a középpont gyorsulásának irányát. A stabilizáló mozgással ellátott egyenletrendszert alkotja a $z_3$ és $z_4$, míg a multiplikátorok számítását a $z_5$ és $z_6$ végzi.
    
Ekkor a korábban ismertett módszerrel kapott mátix két sajátértéke a felsõ, kezdetben instabil megoldásra:
$$\lambda^1=[-0.416498,-0.415888] + [0.59792,0.602524] \iu,$$
és
$$\lambda^2=[-0.416498,-0.415888] - [0.59792,0.602524] \iu,$$
azaz ez a pálya a rezegtetéssel stabil.

Vegyük észre, hogy az $\omega_f$ és az $\omega_v$ gyorsulások nem függnek az éppen aktuális inga állapotaitól -- sem a sebességétõl, sem a szögétõl. Ezen függvényekben csak a felsõ instabil pálya megoldása szerepel, melyet akár elõre kiszámíthatunk és eltárolhatunk. Tehát a jelen problémán alkalmazott mozgatás a nem visszacsatolásos technikák körébe tartozik.