%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{A kényszererõs fékezett inga\label{1.2.1}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Jelen fejezetben egy kényszererõs fékezett ingát vizsgálunk, mely egy 1 szabadsági fokkal rendelkezõ mechanikai rendszer. Egy $m$ tömegû pontszerû test lóg egy $l$ hosszú súlytalan, merev rúdon (lásd \az{\ref{Inga}}.\ ábrán). Ez azt jelenti, hogy a pontszerû test egy kör mentén mozoghat, melynek sugara $l$. A vizsgált ingára három erõ hat. Az egyik a gravitáció, amelynek nagysága $g$ és függõlegesen lefelé hat. A másik a légellenállás, amelynek nagysága a test sebességétõl függ, és iránya ellentétes a pontszerû test mozgásának irányával. A forgási sebesség és ezen erõ hányadosa legyen konstans, és jelöljük ezt ($-\gamma$)-val, ahol $\gamma>0$. A harmadik egy periodikus külsõ erõ, amely hat az inga sebességére az inga minden pozíciójában. Ez a kényszererõ legyen $A\cos t$, ahol $A$ egy konstans és $t$ az idõ. Ekkor a rendszer felírható egy másodrendû differenciálegyenlettel:
$$mlx''(t)=-mg\sin x(t) - \gamma lx'(t) + A \cos t ,$$
ahol $x$ az inga függõlegessel bezárt szöge, és $x'$ az inga forgási sebessége. A tömeget egységnyinek választva és az inga hosszával ($l$) leosztva az elõzõ egyenletet az alábbi egyenlethez jutunk:
$$x''(t)=-\frac{g}{l}\sin x(t) - \gamma x'(t) + \frac{A}{l} \cos t .$$
A további szabad paraméterek megválaszthatóak úgy ($g=l$ és $A=l$), hogy az alábbi egyenletet kapjuk:
$$ x''(t)=-\sin x(t) -0.1 x'(t) + \cos t.$$
Ez az egyenlet fogja vizsgálataink tárgyát képezni. Korábbi, a kapcsolódó irodalombeli eredményekbõl tudható, hogy az ilyen rendszerek numerikus megoldásai nagyon érzékenyek néhány pont közelében~\cite{Borelli94}. Hasonló szögbõl és kicsit eltérõ szögsebességekkel elindított megoldások láthatóak \aref{IngaMO}.\ ábrán.

\begin{figure}[th]
\begin{center}
\includegraphics[width=.18\textwidth]{Szukseges/Figure/Inga.eps}
\caption{A kényszererõs fékezett inga.}
\label{Inga}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[th]
\begin{center}
\includegraphics[width=.50\textwidth]{Szukseges/Figure/Periods.eps}
\caption{A kényszererõs fékezett inga pár trajektóriája.}
\label{IngaMO}
\end{center}
\end{figure}

A fenti egyenletet felírhatjuk az alábbi formában is:
$$
x_1'(t)=x_2(t),
$$
$$
x_2'(t)=-0.1x_2(t)-\sin x_1(t)+ \cos t,
$$
ahol $x_1$ az inga szöge, míg $x_2$ az inga szögsebessége.

A káosz bizonyításához egyik eszköz a Poincaré-leképezés. Mivel a kényszererõ $2\pi$ periodikus, így a Poincaré-képeket a $t=2n\pi$ idõpillanatokban vesszük, ahol $n$ egy egész szám. Az ezen idõpillanatok között kialakult leképezések azonosak. Így a trajektória követéséhez elegendõ a Poincaré-leképezést (${\cal P}: {\mathbb{R}}^2 \mapsto {\mathbb{R}}^2$) iterálni, melyet az alábbi módon definiálhatunk:
$${\cal P}: \left(x(0),x'(0)\right) \mapsto \left(x(2\pi),x'(2\pi)\right).$$

Megjegyzendõ, hogy ez a Poincaré-leképezés $x$-ben $2\pi$ periodikus, mivel az inga szöge is $2\pi$ periodikus, és egyik erõ sem függ a körbefordulások számától. De amíg a hagyományos inga szimmetrikus $x$-ben is, a mi rendszerünk nem az, mivel a kényszererõ nem szimmetrikusan hat az inga szimmetrikus szögeiben.

