%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{Megbízható módszer a Poincaré-leképezés befoglalására\label{1.2.2}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
A káosz bizonyításához a Poincaré-leképezést is megbízható módon kell megadni. Mivel ez a leképezés nem írható fel zárt alakban, így egyetlen megoldás marad, a trajektória követése a $[0,2\pi]$ idõintervallumon. Egy adott pontra a Poincaré-leképezést a trajektória helyzete adja meg a $t=2\pi$ idõpillanatban.
  
Több megbízható differenciálegyenlet-rendszert megoldó szoftver létezik, melyek szabadon felhasználhatók~\cite{Berz96}. A választásunk a könnyû használat, és a széleskörûen elismert teljesítménye miatt a VNODE-ra (Validated Numerical ODE) esett~\cite{VNODE}. A csomag mûködése a Taylor-sorfejtésen alapul. Erõssége az, hogy a lépéshosszt automatikusan választja meg, és így ott végez kisebb lépéseket, ahol ez szükséges. Ezzel a módszerrel nagyobb pontosságot képes elérni. A csomag további elõnye, hogy a trajektóriákat idõben elõre- és hátrafelé is tudja követni. 

A program egyetlen hátránya számunkra, hogy csak számítógépen ábrázolható idõpillanatokban képes megadni a trajektória helyzetét. A Poincaré-leképezésben szereplõ $2\pi$ azonban nem ábrázolható számítógépen, így az alábbi átalakítással használjuk az egyenletrendszert:
\begin{eqnarray*}
&y_0'(t)=\pi,\\
&y_1'(t)=\pi\left(y_2(t)\right),\\
&y_2'(t)=\pi\left(-0.1y_2(t)-\sin y_1(t) + \cos t\right).
\end{eqnarray*}
Erre a módszerre a $t=2$ idõpillanatban kapjuk meg a Poincaré-leképezést. A Poincaré-leképezés inverzét pedig a $t=-2$ idõpillanatban. Ezen két függvény értékét jelöljük az $I$ 2 dimenziós intervallumra $P(I)$-vel és $P^{-1}(I)$-vel.
