%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{A periodikus pontok\label{1.2.3}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
A kaotikus viselkedésben fontos szerepet játszanak a periodikus pontok. Ezek helyének és stabilitásának vizsgálata szükséges a káosz bizonyításához. Korábbi eredményekbõl tudható~\cite{Mawhin82}, hogy ilyen rendszereknek legalább egy periodikus megoldása van, de ennél többre lesz szükségünk.

Jelen részben csak a Poincaré-leképezés fixpontjaival foglalkozunk, ugyanis  léteznek olyan periodikus pontjai az ingának, melyek $2\pi$ idõközönként ugyanazt az állapotot veszik fel, de közben legalább egyszer körbefordulnak. Sejthetõ, hogy egy bizonyos értéknél nagyobb sebességgel mozgó inga nem lehet periodikus. Durva számításokkal az alábbi felsõ korlátot kapjuk a kaotikus inga sebességére:
$$|x_2| < \int_0^{2\pi} (1 - \cos t ) e^{0.1t} dt<10.1.$$ 

A periodikus pontok kereséséhez egy egyszerû megbízható B\&B eljárást alkalmaztunk. A keresési terület az
$$\left(x,x'\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[-10.1,10.1 \right]$$
kezdõ intervallum volt. A B\&B eljárásunk olyan 2 dimenziós intervallumokat ($I_i$) generál a kezdõ intervallumból, melyekre igaz az alábbi állítások valamelyike:
\begin{description}
\item[1.]az $I_i$ intervallumnak nincs közös pontja a $P(I_i)$ és $P^{-1}(I_i)$ legalább egyikével, vagy
\item[2.]az $I_i$ intervallum kicsi (a felhasználó által beállított méretû), és van közös pontja a $P(I_i)$-vel és a $P^{-1}(I_i)$-vel is.
\end{description}
A periodikus pontok csak a második halmazban lehetnek. Következõ lépésként az ezen csoportban lévõ közös ponttal rendelkezõ intervallumokat összevonjuk egy nagyobb intervallumba, amely tartalmazza mindkét kisebb intervallumot. Ezt mindaddig csináljuk, míg van ilyen intervallum a csoportban. Ezzel feltehetõen pontosan annyi intervallumot kapunk, mint ahány periodikus pontja van a rendszernek, és mindegyiknek egy-egy garantált befoglalását nyerjük. Sajnos ez a technika egyelõre nem zárja ki, hogy egy-egy ``dobozban'' több vagy akár egy periodikus pont se szerepeljen.

Esetünkben ezen 2 dimenziós intervallumok az alábbiaknak adódtak:
$$
\left(x,x'\right)_1=\left([2.634272,2.634274],[0.02604294,0.02604485]\right),
$$
$$
\left(x,x'\right)_2=\left([4.236893,4.236894],[0.3926964,0.3926973]\right).
$$
Megvizsgálva a trajektóriákat, azt sejtjük, hogy az elsõ egy felsõ egyensúlyi pályát, míg a második egy alsó egyensúlyi pályát feltételez (lásd \az{\ref{perpalya}}.\ ábrát).

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\subfigure[Az alsó periodikus pálya.]{
\includegraphics[width=.35\textwidth]{Szukseges/Figure/Also.eps}
}
\subfigure[A felsõ periodikus pálya.]{
\includegraphics[width=.35\textwidth]{Szukseges/Figure/Felso.eps}
}
\caption{A periodikus pályák.}
\label{perpalya}
\end{center}
\end{figure}

A létezés és az egyértelmûség igazolásához a karakterisztikus multiplikátort fogjuk használni. Ezt az úgynevezett variációs egyenlet módszerrel határozzuk meg. Ehhez szükségünk van a jobboldalak $x_1$ és $x_2$ szerinti deriváltjaira, melyek a következõk:
$$\left(  
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-\cos (x_1) & -0.1 
\end{array} 
\right).$$

Vegyük észre, hogy az $x_2'$-nek az $x_1$ szerinti deriváltja tartalmazza az $x_1$-et, így szükségünk van a megoldásra is, melyet csak numerikusan befoglalva tudunk megadni. Így az alábbi differenciálegyenlet-rendszert vizsgáljuk:
\begin{eqnarray*}
z_1'(t)&=&z_2(t),\\
z_2'(t)&=&-0.1z_2(t)-\sin z_1(t)+ \cos t,\\
z_3'(t)&=&z_4(t),\\
z_4'(t)&=&-0.1z_4(t)-z_3(t)\cos z_1(t).
\end{eqnarray*}
A $z_1$ és $z_2$ teljesen azonos az $x_1$-gyel, illetve $x_2$-vel, és ezek fogják a megoldást minden idõpillanatra kiszámolni, míg a $z_3$ és $z_4$ a multiplikátorokat tartalmazzák.

Az eljárás során a differenciálegyenlet $z_1$, $z_2$ kezdõértékei legyenek az elsõ fixpont koordinátái, valamint $z_3(0):=1$ és $z_4(0):=0$. Ezekkel az értékekkel kiszámolt Poincaré-leképezés $z_3$ és $z_4$ értékei legyenek egy $A_1$ $2\times2$-es mátrix elsõ oszlopa. Az $A_1$ mátrix második oszlopát hasonlóan számoljuk ki, csak a $z_3(0):=0$  és $z_4(0):=1$. Az így adódó mátrix:
$$
A_1=\left(
\begin{matrix}
[169.6369,169.6370]& [168.7925,168.7926] \\
[152.9595,152.9597]& [152.2012,152.2014]  
\end{matrix}
\right),
$$
melynek sajátértékeinek befoglalása:
$$\alpha^1_1=[321.8363,321.8368],$$
$$\alpha^2_1=[0.001421,0.001894].$$
Mivel abszolút értékben az egyik nagyobb, mint $1$, a másik pedig kisebb, ezért az $\left(x,x'\right)_1$ intervallum pontosan 1 instabil fixpontot tartalmazhat.

Hasonlóan a másik intervallumra:  
$$
A_2=\left(
\begin{matrix}
[-0.7426217,-0.7426218]&[0.09101517,0.09101522]\\
[-0.04890921,-0.04890920]&[-0.7123905,-0.7123904]
\end{matrix}
\right),
$$
melynek sajátértékei
$$\alpha^1_2=[-0.7275062,-0.7275061]+\sqrt{[-0.01689209,-0.01689190]},$$
$$\alpha^2_2=[-0.7275062,-0.7275061]-\sqrt{[-0.01689209,-0.01689190]}.$$
Mivel a valós rész abszolút értéke mindkét esetben kisebb mint $1$, így ez egy stabil fixpontot tartalmaz.

