%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
\subsection{A káosz létezésének szükséges feltétele\label{1.2.5}}
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
%--------------------------------------------------------%
Definiáljunk egy $N$ négyszöget az $\left(x,x'\right)$ térben.  Ez a négyszög tartalmazza a megismert instabil fixpontot. Legyen ezen négyszög a stabil sokaság irányában keskeny és az instabil sokaság irányában pedig hosszú. Ezen $N$ téglalap $2k\pi$-szeres $x$ tengely irányába való eltolásaival kapott négyszögeket jelöljük $N_k$-val. A kaotikus viselkedés bizonyítása elõtt annak egy következményét próbáljuk bizonyítani.

A rendszer kaotikus viselkedését a következõ tétel jellemzi:
\begin{tet}
Tekintsünk egy tetszõleges, mindkét irányban végtelen hosszú $i_j\in {\mathbb{Z}}$ sorozatot, melyre minden $j$-re igaz, hogy $ \left| i_j-i_{j+1}\right|\leq1$. Ha az ingának létezik olyan $(x,x')$ kezdõállapota, hogy az inga állapota a $2j\pi$ idõpillanatban eleme az $N_{i_j}$ négyszögnek, akkor a rendszer kaotikus.
\end{tet}

Most bizonyítsuk ezen tétel egy következményét:
\begin{alli}

Az összes $N_-,N_0,N_+$ $\left(N_-,N_+ \in \{ N_{-1},N_0,N_1\}\right)$ háromhosszú sorozathoz létezik az ingának olyan $(x,x') \in N_0$ kezdõállapota, hogy $P^{-1}(x,x')\in N_-$ és $P(x,x')\in{N_+}$.
\label{inga_kov}
\end{alli}
Az állításban szereplõ háromhosszú sorozat egy részsorozata a fenti tételben szereplõ végtelen hosszú sorozatnak. Továbbá, csak azt a tulajdonságát használtuk ki, hogy az inga szöge $2\pi$ periodikus, így a középsõ elemet nyugodtan vehetjük az $N_0$ négyszögnek. Ezekkel az észrevételekkel már megmutattuk, hogy az utóbbi állítás egy szükséges, de nem elegendõ feltétele a tételben szereplõ kaotikus viselkedésnek. Egy az állításban szereplõ, lehetséges $N_1,N_0,N_0$ sorozathoz tartozó trajektóriát illusztrálunk \az{\ref{Qpoincare}}.\ ábrán.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=.85\textwidth]{Szukseges/Figure/Poincare.eps}
\caption{Egy a $N_1,N_0,N_0$ sorozathoz tartozó trajektória illusztrálása.}
\label{Qpoincare}
\end{center}
\end{figure}

Az állítás bizonyításához elegendõ az összes lehetséges háromhosszú sorozathoz mutatni egy-egy olyan pontot melyre igaz, hogy a Poincaré-képei az elõírt négyszögekbe esnek. Minden egyes keresés során egy B\&B eljárást fogunk alkalmazni. A keresõ algoritmus (\az{\ref{algBB_3}}.\ Algoritmus) végrehajtása során akkor dobunk el egy intervallumot, ha valamely képének nincs közös pontja az elvárt célterülettel. Ha egy intervallumra igaz mind a 3 tartalmazás, akkor az intervallum bármely pontja megfelel az adott sorozatnak. Ilyen háromhosszú sorozatból összesen 9 létezik, azaz a keresõ eljárást ennyiszer futtatjuk a megfelelõ célterületekkel. \Az{\ref{QQQkeres}}.\ táblázatban a 9 keresés eredményét, illetve \az{\ref{QQQkovet}}.\ ábrán az $N_1,N_0,N_0$ sorozathoz tartozó megoldás trajektóriájának garantált befoglalását adtuk meg.

Ezzel a típusú eljárással csak véges hosszú részsorozatra tudjuk belátni, hogy létezik hozzá pont, mely az adott sorozatot ``követi''. A kaotikussághoz azonban végtelen hosszú sorozatokra kell ezt belátni, így ezen módszer nem alkalmas a káosz teljes bizonyítására. Azaz a káosz bizonyításához vissza fogunk nyúlni az Hénon-leképezésnél megismert technikákhoz.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{Szukseges/Figure/Feliratos_ResS_2.eps}
\caption{Az $N_1,N_0,N_0$ sorozathoz tartozó megoldás trajektóriájának garantált befoglalása.}
\label{QQQkovet}
\end{center}
\end{figure}

\begin{algorithm}[t]
\swapnumbers
\caption{\textbf{\hspace{-0.12cm}.\ Algoritmus.} Az adott sorozathoz tartozó kiindulási intervallum keresése.}
\label{algBB_3}
\begin{tabular}{lrp{12cm}}
{\em Input:}	&--& $\epsilon$: a részintervallumok felhasználó által beállított minimális mérete,\\
							&--& $N_0$: a tekintett halmaz,\\
							&--& $N_-,N_+$: az aktuális célhalmazok.\\
{\em Output:}	&--& egy intervallum, amely megfelel az adott sorozathoz, vagy\\
							&--& nem talál $\epsilon$-nál nagyobb intervallumot, amely megfelelne.\\
\end{tabular}

\begin{description}
\itemsep  =0cm
\parsep   =0cm
\parskip  =0cm
\item[1. lépés] Számoljuk ki a kezdõ intervallumot.
\item[2. lépés] Tegyük be ezt az intervallumot a verembe.
\item[3. lépés] Vegyünk ki egy $v$ intervallumot a verembõl.
\item[4. lépés] Határozzuk meg a $v$ intervallum legszélesebb oldalát.
\item[5. lépés] Számoljuk ki a transzformált $w_-=P^{-1}(v)$ és $w_+=P(v)$ intervallumokat.
\item[6. lépés] Ha a $v \subset N_0, w_-\subset N_-$ és $w_+ \subset N_+$, akkor 
\begin{description} \item[] a keresés sikeres volt, írjuk ki $v$-t és STOP, 
\end{description} egyébként, 
\begin{description} \item[] ha a $v$ intervallum szélesebb oldala nagyobb, mint a felhasználó által adott érték, $v \cap N_0 \neq \emptyset, w_-\cap N_- \neq \emptyset$ és $w_+ \cap N_+ \neq \emptyset$, akkor vágjuk ketté $v$-t a szélesebb oldala mentén, rakjuk be a két részintervallumot a verembe és folytassuk a 3. lépéssel.
\end{description}
\item[7. lépés] Ha a verem üres, akkor a keresés nem sikerült és STOP, egyébként folytassuk a 3. lépéssel.
\end{description}
\end{algorithm}


%\begin{figure}[th]
%\begin{center}
%\epsfxsize=.7\textwidth
%\epsfbox{Figure/Q_1Q_0Q_0.eps}
%\caption{}
%\end{center}
%\end{figure}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}\small\normalsize
\begin{table}[p]
\begin{tabular}{|c||c|r|r|}
\hline Cél- & $P^{-1}$ melletti / eredeti / $P$ melletti
& CPU & Int-ok \\[-0.3 cm]
terület & intervallum ($x$, $x'$ koordinátái)& idõ (s) & száma \\

\hline\hline
\begin{tabular}{c}

$N_0$ \\ $N_0$ \\  $N_0$
\end{tabular}&

\begin{tabular}{cc}
$[ 2.317648, 2.709306]$&$
 [-0.050055, 0.342587]$ \\
$[ 2.628677, 2.629443]$&$
 [ 0.021484, 0.021973]$ \\
$[ 1.076006, 1.253059]$&$
 [-1.048104,-0.964307]$ \\
\end{tabular} & $383$ & $1\,390$\\[5 pt]

\hline
\begin{tabular}{c}
$N_1$ \\ $N_0$ \\ $N_0$
\end{tabular}&

\begin{tabular}{cc}
$[ 7.632088, 7.660986]$&$
 [-0.512440,-0.483095]$ \\
$[ 2.696904, 2.698438]$&$
 [-0.047852,-0.046875]$ \\
$[ 0.990481, 1.369249]$&$
 [-1.100671,-0.899117]$ \\
\end{tabular} & $363$ & $1\,615$ \\[5 pt]

\hline
\begin{tabular}{c}
$N_{-1}$ \\ $N_0$ \\  $N_0$
\end{tabular}&

\begin{tabular}{cc}
$[-2.894219,-2.710906]$&$
 [ 1.155728, 1.233331]$ \\
$[ 2.607979, 2.609512]$&$
 [ 0.041992, 0.042969]$ \\
$[ 1.028439, 1.405768]$&$
 [-1.086193,-0.880000]$ \\
\end{tabular} & $402$ & $1\,595$ \\[5 pt]

\hline
\begin{tabular}{c}
$N_0$ \\ $N_0$ \\  $N_1$
\end{tabular}&
\begin{tabular}{cc}
$[ 2.284252, 2.669446]$&$
 [-0.003131, 0.381040]$ \\
$[ 3.751748, 3.752515]$&$
 [ 1.072266, 1.072754]$ \\
$[ 7.173756, 7.188131]$&$
 [-1.052968,-1.048956]$ \\
\end{tabular} & $694$ & $3\,178$ \\[5 pt]

\hline
\begin{tabular}{c}
$N_1$ \\ $N_0$ \\  $N_1$
\end{tabular}&
\begin{tabular}{cc}
$[ 7.556686, 7.831820]$&$
 [-0.896126,-0.595137]$ \\
$[ 3.875938, 3.888203]$&$
 [ 1.062500, 1.070313]$ \\
$[ 7.265608, 7.524591]$&$
 [-1.042681,-0.922727]$ \\
\end{tabular}& $356$ & $1\,364$ \\[5 pt]

\hline
\begin{tabular}{c}
$N_{-1}$ \\ $N_0$ \\  $N_1$
\end{tabular}&
\begin{tabular}{cc}
$[-2.811017,-2.345166]$&$
 [ 1.059322, 1.274043]$ \\
$[ 3.719551, 3.722617]$&$
 [ 1.078125, 1.080078]$ \\
$[ 7.186581, 7.247708]$&$
 [-1.049464,-1.030382]$ \\
\end{tabular}& $561$ & $2\,292$ \\

\hline
\begin{tabular}{c}
$N_0$ \\ $N_0$ \\  $N_{-1}$
\end{tabular}&
\begin{tabular}{cc}
$[ 2.342858, 2.729911]$&$
 [-0.079739, 0.311653]$ \\
$[ 1.421279, 1.422046]$&$
 [-0.881836,-0.880859]$ \\
$[-1.755311,-1.745855]$&$
 [ 1.595219, 1.602129]$ \\
\end{tabular}& $1\,001$ & $5\,258$ \\

\hline
\begin{tabular}{c}
$N_1$ \\ $N_0$ \\ $N_{-1}$
\end{tabular}&
\begin{tabular}{cc}
$[ 7.704982, 8.076489]$&$
 [-0.812236,-0.355093]$ \\
$[ 1.520938, 1.533203]$&$
 [-0.968750,-0.953125]$ \\
$[-2.091369,-1.911043]$&$
 [ 1.343996, 1.492038]$ \\
\end{tabular}& $384$ & $1\,462$ \\[5 pt]

\hline
\begin{tabular}{c}
$N_{-1}$ \\ $N_0$ \\  $N_{-1}$
\end{tabular}&
\begin{tabular}{cc}
$[-2.798045,-2.243367]$&$
 [ 0.960221, 1.221012]$ \\
$[ 1.404414, 1.410547]$&$
 [-0.847656,-0.843750]$ \\
$[-1.877814,-1.815990]$&$
 [ 1.502639, 1.548777]$ \\
\end{tabular}& $652$ & $2\,853$ \\[5 pt]

\hline
\end{tabular}

\caption{\Az{\ref{inga_kov}}.\ Állítás bizonyításához szükséges intervallumok, az azok megtaláláshoz szükséges CPU idõ és a generált intervallumok száma.}
\label{QQQkeres}
\end{table}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\small\normalsize

