Az RC áramkör működése

Az RC áramkör kezelése igen gyakran szükséges számos elektronikai rendszer működésének leírásához. Az RC áramköri elrendezés sokszor nem szándékosan kialakított, hanem a rendszer sajátja többek között A/D konverterek, műszerek, áramköri bemenetek esetében is.

Ugrásfüggvény hatása

Jelek ugrásszerű változása rendszeresen előfordul a műszaki rendszerekben és az elektronikában. Vizsgáljuk meg, milyen a kimeneti jel változása ugrásfüggvény hatására egy RC áramkörben.

Mivel elágazás nincs, minden alkatrészen ugyanazt az áramot használhatjuk a feszültségek kifejezésére:

V_out(t) a kondenzátoron eső feszültség, így

Végül

Átrendezve

Az ugrásszerű gerjesztést úgy is tekinthetjük, hogy a bemeneti jel konstans (az ugrás utáni érték), de a kezdeti feltétel az ugrás pillanatában megfelelő a leírásra. Ez azt jelenti, hogy a kondenzátor feszültsége az ugrás pillanatában épp a kimeneti feszültség értékét adja, és ez változik idő függvényében a megváltozott bemeneti jelszint hatására.

A változók szétválasztása után kapjuk:

Integráljuk a fenti egyenletet:

Az integrálási konstans a kezdeti felételből meghatározható. Az ugrás pillanatát a t=0 s időponthoz rendelhetjük, amikor a kimeneti feszültség értéke V_out(0). Ezzel a következőt kapjuk:

Átrendezve:

A kimeneti jel tehát közelít a bemeneti jelhez, mivel a kondenzátor töltődik (vagy kisül, ha a bemenő feszültség a kisebb) a feszültségkülönbséggel arányos sebességgel. τ = R⋅C az áramkör időállandója, ennyi idő alatt csökken e-ad részére a feszültségkülönbség.

Egyszerűbb jellemezni a folyamatot, ha kezdetben a kondenzátoron eső feszültség V_out = 0 V és a bemeneti feszültség is 0 V-ról ugrik a V_in értékre a t=0 s időpillanatban. Ekkor az összefüggés alakja:

A következő ábrán τ értéke 1 s, az egyes elemek:

• piros vonal: a bemeneti jel
• fekete vonal: a kimeneti jel
• zöld vonal: az időállandóhoz tartozó érték
• kék vonal: a kezdeti szakasz közelítése egyenessel. A kezdeti szakaszban a kondenzátoron eső feszültség jóval kisebb, mint ez ellenálláson mérhető, így az áram kevéssé változik. Ekkor az áramkör jó közelítéssel integrálja a bemeneti jelet.

Az alábbi kalkulátorral kiszámítható, hogy adott idő után a jel mennyire pontosan áll be a végértékre.

t/τ =

beállási arány =

Szinuszos jel hatása

Lineáris rendszerek leírásánál hasznos, ha ismerjük a kimeneti jelet szinuszos bemeneti jelek esetén, mivel a jeleket gyakran bontjuk szinuszos összetevőkre.

A kimeneti jelet szinuszosnak feltételezhetjük, mivel az áramkört leíró egyenlet lineáris:

Behelyettesítéssel kapjuk:

Trigonometrikus azonosságokat felhasználva juthatunk a végeredményre:

Átlagérték képzése

Az RC áramkör alkalmas időfüggő jelek átlagértékének közelítésére. Ha az RC áramkör bemenő jele egy átlagérték körül ingadozik, akkor a kimenetén az ingadozás nagysága jóval kisebb lehet, az átlagos értéktől kevésbé tér el. Az áramkör a DC komponenst (azaz az átlagértéket) átengedi, a gyorsabb jelváltozásokat viszont csökkenti.

A következő grafikon egy 3 V-os 1kHz frekvenciájú PWM jel esetére szemlélteti az átlagolási képességet. A PWM jel egy periodikus négyszögjel, melynek a frekvenciája állandó, a kitöltési tényezője (a felső érték időtartamának és a periódusidőnek az aránya) viszont változtatható. Ezzel az átlagérték állítható, kétállapotú (digitális) jellel lehet finoman hangolható hatást létrehozni.

Méretezés

A méretezéshez a gyakorlatban elegendő a maximális ingadozást korlátozni, ami 50%-os kitöltési tényezőnél lép fel. Ha az ingadozás a bemeneti jel amplitúdójához képest kicsi, akkor a kondenzátort közelítőleg állandó áram tölti vagy süti ki, aminek értéke a bemenő jel szélsőértékei közötti különbség fele és az ellenállás hányadosa:

A töltési és kisütési idő a T periódusidő fele, így az ingadozás maximuma jó közelítéssel:

Végül az R⋅C időállandót τ-val jelölve kapjuk, hogy bármely kitöltési tényező esetén igaz, hogy az ingadozás mértéke kisebb, mint

Részletes számítások

Az ingadozás mértéke pontosan is kiszámítható bármely esetre a következő módon. A töltési fázisban a kondenzátoron mérhető feszültség az alábbi összefüggés szerint változik:

V_out(t) = V_min + (V_H-V_min)⋅(1-e^-Δt/τ)

Itt az időllandó τ= R⋅C, és Δt-vel attól a pillanattól mért időt jelöltük, amikor a jel az alsó V_min szinten van és a töltés megkezdődik, azaz amikor a kimeneti jel logikai magas értékre vált.

A kisülési fázisban pedig:

V_out(t) = V_max + (V_L-V_max)⋅(1-e^-Δt/τ)

Itt Δt-vel attól a pillanattól mért időt jelöltük, amikor a jel a felső V_max küszöbszinten van és a kisülés megkezdődik, azaz amikor a kimeneti jel logikai alacsony értékre vált.

Ezekből kiszámíthatjuk V_min és V_max értékét, mivel a két érték közt töltéskor és kisüléskor a PWM jel magas illetve alacsony jelszinthez tartozó Δt_H és Δt_L időtartama telik el.

V_max = V_min + (V_H-V_min)⋅(1-e^-Δt_H/τ)
V_min = V_max + (V_L-V_max)⋅(1-e^-Δt_L/τ)

Egyszerűbb alakra hozva:

V_max = V_H⋅(1-e^-Δt_H/τ)+V_min⋅e^-Δt_H/τ
V_min = V_L⋅(1-e^-Δt_L/τ)+V_max⋅e^-Δt_L/τ

Ebből kapjuk:

Az ingadozás nagysága:

Mintavételező áramkörök, kapcsolt jelek

A/D konverterek gyakran tartalmaznak mintavevő áramköri részt. A mintavételezéskor a jelet a belső elektronika egy kondenzátorra kapcsolja, ami egy ellenálláson keresztül töltödík fel.

Az A/D konverter előtt multiplexer is lehet, aminek segítségével két vagy több jelek közül kapcsolhatjuk valamelyiket a mintavevő RC áramkörre.

Ez azt jelenti, hogy a kapcsolás után valamennyi időt várni kell ahhoz, hogy a kondenzátoron levő feszültség kellően pontosan elérje a mérendő feszültséget. A legnagyobb kezdeti eltérés általában az A/D konverter V_ref referenciafeszültsége, így ezzel érdemes számolni. Ebben az esetben az eltérés mértéke (τ = R⋅C):

Ha a konverter b bites, azaz felbontása V_ref/2^b, akkor ΔV-t ennek felére korlátozzuk, azaz ΔV < V_ref/2^b+1. Ekkor tehát:

Ennyi idő elegendő tehát a kellő pontosságú beálláshoz bármekkora bemeneti feszültség esetén.

Az alábbi kalkulátorral kiszámítható ez az idő az A/D konverter felbontásának (bitek számának) függvényében.

bitek száma =

beállási idő =

Szenzorinterfészek

Az RC kör alkalmas rezisztív (pl. termisztor) vagy kapacitív (pl. páratartalom) szenzorok kezelésére. Láttuk, hogy ha a egy kondenzátort V₀ feszültségre kapcsolással tölteni kezdünk egy ellenálláson keresztül, akkor a kondenzátoron a feszültség az alábbi módon változik:

Vizsgálhatjuk a kisülést is. Ha egy V₀ feszültségre feltöltött C kapacitású kondenzátor R ellenálláson keresztül sül ki, akkor a feszültség időfüggése a következő:

A τ = R⋅C időállandót egyszerűen meghatározhatjuk, ha megmérjük, hogy a jel mikor ér el egy bizonyos szintet. Például töltéskor (1-1/e) szeresére, illetve kisüléskor e-ad részére éppen τ idő alatt ér. Ismert ellenállás esetén így kapacitás mérhető, ismert kapacitás esetén pedig ellenállás.

Az alábbi ábrán láthatók a töltési és kisülési folyamat jelei V₀ = 5 V, C = 1 uF, R = 1 kΩ (τ = 0.001 s) esetén. A körök 0.001 s időhöz, illetve 5⋅(1-1/e) ≈ 3.16 V-hoz és 5/e ≈ 1.84 V-hoz tatoznak.

Mikrovezérlőkbe gyakran integrálnak komparátorokat, melyek kimenete logikai 1 értékű, ha a pozitív bemenetükön mérhető feszültség a nagyobb. Ha egy általános célú digitális input/output (GPIO) kivezetést logikai alacsony kimeneti értékűre (≈0 V) programozunk, akkor a kondenzátort kisütjük. Ezt követően logikai magas értéket programozva a kimeneten a V_H feszültség jelenik meg (ami közelítőleg a mikrovezérlő tápfeszültségével egyezik meg), így a kondenzátor töltődik az R ellenálláson keresztül. A rezisztív feszültségosztó azt a feszültséget állítja be, aminek elérésekor a komparátor kimenete átbillen. Így megmérhető az idő, amíg a kondenzátor feszültsége ezt az értéket eléri.

Ha megmérjük az időt, akkor az előző képlet segítségével kiszámíthatjuk a τ időállandót, azaz az R⋅C szorzatot:

Ha a mikrovezérlőbe A/D konverter van integrálva, akkor még egyszerűbb a megoldás, a digitalizált adat szoftveres beolvasásával megállapítható, mikor éri el a kívánt értéket a kondenzátor feszültsége. Ekkor töltési és kisülési folyamat is választható, az előbbi megoldás csak töltés esetén alkalmazható (ellenkező esetben a küszöbszint 0 V lenne).

Időzítő áramkörök

A töltési-kisülési folyamat szintmetszés figyelésével időzítési feladatokra is alkalmas. Ekkor olyan értékűre választjuk a küszöbszintet, amit a jel éppen a kívánt idő alatt ér el.

Monostabil áramkör

Az alábbi áramkörnél a kapcsoló bekapcsolásával a kondenzátort gyorsan feltölthetjük (R_s ≪ R), a kimenetre kötött LED elkezd világítani. Kikapcsolás után a LED egy ideig még világít, aminek időtartamát R,C és a V_t küszöbfeszültség értéke szabja meg.

Késleltetés

A következő áramkör digitális (ugrásszerűen változó) jel késleltetését végzi el. A felfutó él után a kondenzátor töltődni kezd R⋅C időállandóval, így a kimeneti jel annyi idő múlva vált logikai magas értékre, amennyi idő alatt a kondenzátor feszültsége eléri a küszöbszintet. A szintet D/A konverterrel is beállíthatjuk, így programozható késleltetést valósíthatunk meg.

Periodikus jelek generálása

Egyszerűen építhetünk oszcillátort is az RC áramkör felhasználásával, ha két küszöbszintet használunk. Ha töltéskor eléri a kondenzátor feszültsége a felső küszönszintet, akkor kezdjük meg a kisütést. Ha kisülés közben eléri a feszütlség az alsó szintet, akkor pedig folytassuk töltéssel. Ezt egyszerűen megoldhatjuk egy Schmitt-triggerrel, ami egy hiszterézissel kiegészített komparátor. Két küszöbszintje van: a felső felett a kimenet logikai magas szintű, az alsó alatt logikai alacsony. Ha a bemeneti jel a kettő szint között van, akkor a kimeneti állapot nem változik, megtartja az előző értékét.

Egy Schmitt-triggerrel felépített oszcillátor látható az alábbi ábrán:

A mechanizmus épp a fentebb leírtnak felel meg. Mivel a kimenet kétféle értéket (V_H és V_L) vehet fel, a V_t segédfeszültséggel és az R₁, R₂ ellenállásokkal beállíthatjuk a kívánt küszönszinteket:

A töltési fázisban a kondenzátoron mérhető feszültség az alábbi összefüggés szerint változik:

Itt Δt-vel attól a pillanattól mért időt jelöltük, amikor a jel az alsó küszöbszinten van és a töltés megkezdődik, azaz amikor a kimeneti jel logikai magas értékre vált.

A kisülési fázisban pedig:

Itt Δt-vel attól a pillanattól mért időt jelöltük, amikor a jel a felső küszöbszinten van és a kisülés megkezdődik, azaz amikor a kimeneti jel logikai alacsony értékre vált.

Ezekből könnyen kiszámítható a töltési és kisülési fázisok időtartama is. A töltési szakaszban annyi időnek kell eltelnie, amíg a jel eléri a felső szintet:

Ebből könnyen kifejezhető az eltelt idő:

Kisülés esetén annyi időnek kell eltelnie, amíg a jel eléri az alsó szintet:

Az eltelt idő:

A következő grafikon a kondenzátoron mérhető és kimeneti jeleket szemlélteti az idő függvényében. A küszöbszinteket piros vonalak mutatják.

Küszöbszintek helye

Küszöbszintek távolsága