A szűrőkörökről

A nevüknek megfelelően a szűrőkörök a jel bizonyos komponenseit átengedik, míg a többit csillapítják. A lineáris rendszerek amplitúdókarakterisztikája ezt jól tükrözi, az erősítés mértéke jelentősen függhet a frekvenciától. Szűrőkről akkor beszélünk, ha a cél kimondottan a frekvenciaszelektivitás megvalósítása. A szűrőkörök tanulmányozása akkor is segít, ha nem szándékosan hozunk létre szelektív működést, hanem a vizsgált rendszer, áramkör, eszköz, műszer sajátossága hasonló.

A szűrőkkel kapcsolatos tipikus elvárások egyszerűsített összefoglalását az alábbiak adják meg:

Megnevezés	Jelentés	Előírások
		ideális	Reális
Áteresztési frekvenciatartomány	A jel ebbe a tartományba eső komponensei jutnak át	Az erősítés konstans	Az erősítés adott tartományba esik
Átmeneti frekvenciatartomány	Az áteresztési és zárási tartomány közötti szakasz	A szélessége zérus	A szélessége korlátozott
Zárási frekvenciatartomány	A jel ebbe a tartományba eső komponenseit szűri ki az áramkör	Az erősítés értéke zérus	Az erősítés adott korlát alá esik

A fontosabb szűrőtípusokat az alábbi grafikonok adják meg. Az erősítésre vonatkozó előírt korlátokat piros vonalak jelzik.

Aluláteresztő szűrő

Felüláteresztő szűrő

Sáváteresztő szűrő

Sávzáró szűrő

Ha a zárótartomány szűk, lyukszűrőnek nevezik.

Az előírásokat annál jobban lehet közelíteni, minél magasabb a szűrők fokszáma, minél több komponenst tartalmaznak. A gyakorlatban aktív szűrőket rendszeresen alkalmaznak ilyen esetekben, melyek erősítőket is magukban foglalnak. Magasabb fokú szűrőket mindig felépíthetünk első és másodfokú szűrőkből, ami abból is következik, hogy az átviteli függvény mindig felbontható első és másodfokú tagokra. A következőkben első és másodfokú passzív szűrőket elemzünk.

Elsőfokú szűrők

Az elsőfokú szűrők átviteli függvényének számlálójában és nevezőjében is csak első fokú tagok vannak. Szorzóként megjelenhet a s egész hatványa is.

Aluláteresztő szűrő

Egy aluláteresztő szűrő kapcsolása látható az alábbi ábrán.

Az átviteli függvényt könnyen kiszámíthatjuk impedanciák segítségével:

Ebből:

ahol a pólusfrekvencia

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható:

Ebből már egyszerűen megkapható az amplitúdó- és fáziskarakterisztika is:

Az alábbi ábra baloldali részén az amplitúdó- és fáziskarakterisztikák grafikonjai láthatók. A jobboldali grafikon az átviteli függvénynek a kiválasztott frekvenciához tartozó értékét mutatja a komplex síkon.

A szűrő a törésponti frekvencia felett 20dB/dekád meredekséggel csillapítja a jeleket. A törésponti frekvencián az erősítés értéke 1/√2 ≈ -3dB. Oszcilloszkópok, erősítők egyszerű bemeneti modelljeként is jól használható.

Aluláteresztő szűrőt kaphatunk úgy is, ha a generátort soros induktivításon keresztül kötjük egy ellenállásra, amelyen eső feszültség adja a kimeneti feszültséget.

Az alábbi szimuláció megmutatja, hogy a szűrő kimenetén milyen jel jelenik meg, ha a bemenő jel 1 kHz frekvenciájú szinusz vagy négyszögjel. A szűrő törésponti frekvenciáját két dekádnyi tartományban változtathatjuk.

Felüláteresztő szűrő

Egy felüláteresztő szűrő kapcsolása látható az alábbi ábrán.

Az átviteli függvényt könnyen kiszámíthatjuk impedanciák segítségével:

Ebből:

A pólusfrekvencia:

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható:

Ebből kapjuk az amplitúdó- és fáziskarakterisztikákat:

Az amplitúdó- és fáziskarakterisztikák grafikonjai az alábbiak:

A kapcsolást gyakran használják DC leválasztásra, oszcilloszkópok AC állásában is ilyen szűrőt alkalmaznak.

Az alábbi szimuláció megmutatja, hogy a szűrő kimenetén milyen jel jelenik meg, ha a bemenő jel egy 1 kHz frekvenciájú négyszögjel. A szűrő törésponti frekvenciáját két dekádnyi tartományban változtathatjuk.

Szelektív feszültségosztó

Az alábbi áramkör erősítése alacsony frekvencián közel egyszeres, egy bizonyos frekvencia felett R₂/(R₁+R₂)-nek tekinthető.

Az átviteli függvényt könnyen kiszámíthatjuk impedanciák segítségével:

Ebből:

ahol a zérus- és pólusfrekvencia

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható:

Ebből már egyszerűen megkapható az amplitúdó- és fáziskarakterisztika is:

Az amplitúdó- és fáziskarakterisztikák grafikonjai az alábbiak:

Kompenzált feszültségosztó

Ha egy rezisztív feszültségosztót kapacitás terhel, akkor magasabb frekvencián más lehet az osztási arány, mint alacsonyabb frekvencián. Ez azt is jelenti, hogy ha a jel tartalmaz alacsony és magasabb frekvenciájú komponenseket, akkor a kimeneti jelalak időbeli alakja eltér a bemenetiétől. Oszcilloszkópok mérőfejében ezért hangolható kapacitás van, hogy kompenzálható legyen a hatás. Az alábbi áramkör adja meg az elrendezést.

Az átviteli függvényt kiszámíthatjuk impedanciák segítségével:

Ebből:

Az átviteli függvény alakja tehát:

A zérus- és pólusfrekvencia

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható:

Ebből megkapható az amplitúdó- és fáziskarakterisztika:

Ha R₂/R₁ = C₁/C₂, azaz R₂ = R₁C₁/C₂, akkor az átviteli függvényben ω_p és ω_z megegyezik:

Ekkor tehát az átviteli függvény valós:

Ennek megfelelően a bemeneti és kimenet jelalak időbeli lefutása azonos, csak az amplitúdójuk különbözik.

Másodfokú szűrők

Kettős aluláteresztő szűrő

A kettős aluláteresztő szűrő két egymás után kötött elsőfokú aluláteresztő szűrőből állhat. Jobb csillapítást biztosít, mint az elsőfokú változat.

Mivel a második tag terheli az elsőt, az eredő átviteli függvény nem a két átviteli függvény szorzata lesz. Az átviteli függvény meghatározásához hatékonyan használhatjuk a négypólusokat leíró láncmátrixokat. Az első aluláteresztőre a következőt kapjuk

• A be- és kimeneti feszültségek aránya terheletlen esetben: A₁₁ = 1+sR₁C₁
• A be- és kimeneti áramok aránya kimeneti rövidzár esetén: A₂₂ = 1
• A bemenő áram és az általa generált kimenő üresjárati feszültég aránya: A₂₁ = sC₁
• A bemenő feszültség és az általa generált kimenő rövidzárási áram aránya: A₁₂ = R₁

A második osztó mátrixát ebből egyszerűen megkapjuk, ha az R₁ és C₁ helyére R₂-t és C₂-t helyettesítünk.

A teljes áramkör láncmátrixa a két láncmátrix szorzata, mivel az első osztó kimeneti jelei megegyeznek a másik bemeneti jeleivel.

Az átviteli függvény ebből:

Átrendezéssel:

Általános alakban:

Az átviteli függvény két valós pólussal rendelkezik.

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható:

Ebből megkapható az amplitúdó- és fáziskarakterisztika:

Sáváteresztő szűrő

Egyszerű sáváteresztő kapcsoláshoz jutunk, ha sorba kötünk elsőfokú alul- és felüláteresztő szűrőket.

A teljes áramkör láncmátrixa a két láncmátrix szorzata, mivel az első osztó kimeneti jelei megegyeznek a másik bemeneti jeleivel.

Az átviteli függvény:

Végül:

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható:

Sáváteresztő szűrő

Egy kevésbé általános, szűkebb sávban áteresztő szűrő látható az alábbi ábrán. A szűrő a Wien-Robinson híd egyik ágának felel meg.

Az átviteli függvényt kiszámíthatjuk impedanciák segítségével:

Ebből:

Végül:

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható:

Wien-Robinson híd

A Wien-Robinson híd a fentebbi sávszűrő kiegészítése egy rezisztív feszültségosztóval. A kimeneti jelet a V₂ és V₁ feszültségek kimenete adja.

Mivel a baloldali ág sáváteresztő tulajdonságú 1/3 maximális erősítéssel, a jobboldali ág erősítése pedig 1/3, a kimenet sávzáró jellegű.

Az átviteli függvény:

Átalakítva:

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω és ω₀ = 1/RC helyettesítéssel kapható:

Kettős T szűrő

A kettős T szűrő egy szűk frekvenciatartományban csillapítja a jelek, azaz egy lyukszűrő.

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω és ω₀ = 1/RC helyettesítéssel kapható:

Az alábbi ábra szemlélteti, hogy egy 1 kHz frekvenciájú szinuszos bemeneti jel esetén milyen a kimeneti jel amplitúdója és fázisa. A szűrési frekvencia (f₀=1/(2πRC)) 100Hz és 10 kHz között változtatható.

RLC szűrők

Aluláteresztő RLC szűrő

Másodfokú aluláteresztő RLC szűrő látható az alábbi ábrán:

Az átviteli függvényt kiszámíthatjuk impedanciák segítségével:

Ebből:

Általánosabb alakban:

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható:

Az átviteli függvénynek lehet két valós gyöke (Q ≤ 0.5), vagy két komplex konjugált gyöke is (Q > 0.5). Az utóbbi esetben az erősítés egy szűk frekvenciasávban nagy lehet. Ez a passzív áramkör egynél nagyobb erősítést biztosíthat a rezonancia jelensége alapján. Ennek lehet haszna, ha a cél egy frekvenciakomponens kiemelése, de lehet káros is, nem kívánt rezgések jöhetnek létre.

RLC sáváteresztő szűrő

Az átviteli függvényt kiszámíthatjuk impedanciák segítségével:

Ebből:

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható:

RLC sávzáró szűrő

Az átviteli függvényt kiszámíthatjuk impedanciák segítségével:

Ebből:

A frekvenciaátviteli függvény az s → jω helyettesítéssel kapható: