Időfüggő jelek hálózatokban

• A generátorok jelei időfüggőek
• A hálózatszámítási törvények érvényesek
• Az alkatrészek egyenletei
  • Feszültség és áram összefüggése
  • Generátoroknál, ellenállásoknál csak a pillanatnyi értékek számítanak
  • Kapacitások és induktivitások
    • lineárisak az egyenletek, melyek leírják a működésüket
    • nem arányosak a pillanatnyi feszültség- és áramértékek
    • számít a mennyiségek múltbeli értéke is
    • differenciálegyenletek szükségesek a leíráshoz
• A generátorokhoz, mért feszültségekhez, áramokhoz továbbra is rendelhető előjel
  • ez irányítást jelent
  • a komponens áramának irányát, a rajta eső feszültség viszonyát adja meg választott irányhoz képest
  • mérési utasítást is jelent egyben

Az alkatrészek egyenletei

Ellenállás

Az ellenállás (resistor) ugyanúgy viselkedik időben állandó és időfüggő jelek esetén, a pillanatnyi feszültség és áram is arányos egymással:

Ennek megfelelően az összes hálózatot leíró egyenlet is olyan, mint egyenáramú esetben. Érvényesek az Ohm-törvény mellett a Kirchhoff-törvények, A Thevenin- és Norton-tétel, a szuperpozicíó tétele is.

Kondenzátor

A kondenzátoron vagy más néven kapacitáson (capacitor) eső feszültség arányos a rajta felhalmozódott töltésmennyiséggel:

A feszültség-áram összefüggés ennek alapján:

A viselkedés jellemzésére bizonyos esetekben a következő alak alkalmasabb lehet:

Néhány fontosabb megállapítás a kondenzátorok működésével kapcsolatban:

• Állandó feszültség esetén nem folyik áram.
• DC jelek esetén szakadásként viselkedik, nem vezet.
• Feszültségugrás hatására ideális kondenzátor esetén végtelen nagy áramimpulzus jön létre
  • Bekapcsolás: nagy pozitív (töltő-) áramimpulzus
  • Kikapcsolás: nagy negatív (kisülési) áramimpulzus

A kondenzátor energiát tud tárolni:

• Töltéseket tárol, ezzel feszültséget tart fenn, ami áramot tud létrehozni más áramköri komponenseken
• A tárolt energia mennyisége
• A dielektrikumtól jelentősen függ a kapacitás
• A kondenzátoron nincs teljesítményveszteség
  • a teljes betáplált energiát visszanyerhetjük
  • nem melegszik, energia semmilyen formában sem távozhat

Induktivitás

Az induktivitás (inductor) esetén a feszültség-áram összefüggés a következő

• Állandó áram esetén nem esik feszültség az induktivitáson
• DC jelek esetén rövidzárként (vezetékként) viselkedik.
• Áramugrás esetén ideális induktivitáson végtelen nagy feszültségimpulzus jön létre
  • Bekapcsolás: nagy pozitív feszültségimpulzus
  • Kikapcsolás: nagy negatív feszültségimpulzus

Az induktivitás energiát tud tárolni:

• Áramot, illetve ez által létrehozott mágnességet tárol, ami feszültséget tud létrehozni változásakor
• A tárolt energia mennyisége
• A mag anyagától függő az energiatárolási képesség
• Az induktivitáson nincs teljesítményveszteség
  • a teljes betáplált energiát visszanyerhetjük
  • nem melegszik
  • energia nem távozhat, kivéve a létrehozott mágneses téren keresztül (pl. motorok esetén)

A kapacitás és induktivitás összehasonlítása

A kapacitás és induktivitás ugyanúgy viselkedik, ha az áram és feszültség szerepét fordítottnak tekintjük esetükben:

Más formában:

Teljesítményfelvétel, effektív értékek

Az alkatrészek által felvett teljesítmény pillanatnyi értéke az alkatrészen eső feszültség és az alkatrészbe folyó áram szorzata:

Ellenállás esetén:

Ez az érték mindig pozitív, azaz az ellenállás mindig energiát vesz fel az áramkörből, ami hővé alakulva távozik a rendszerből.

Kondenzátor esetén:

Ez az érték pozitív és negatív is lehet, attól függően, hogy a kondenzátor energiát vesz fel vagy ad le.

Induktivitás esetén:

Ez az érték szintén lehet pozitív és negatív is, ami az energiaáramlás irányát adja meg.

Látható, hogy DC jelek esetén a kondenzátor és induktivitás teljesítményfelvétele nulla.

Időfüggő jeleknél egy adott idő alatt felvett átlagos teljesítmény informatívabb lehet, mint a pillanatnyi teljesítmény. Ellenállások például nem tudják a környezetüknek gyorsan átadni a hőt, így az ingadozó elektromos teljesítmény sokkal kevésbé ingadozó hőmérsékletet jelent, átlagos értékkel jobban megadható. Periodikus jeleknél az egy periódusra számított átlagos teljesítményt érdemes kiszámítani. Kondenzátorok és induktivitások átlagos teljesítményfelvétele nulla, amennyi energiát felvesznek, ugyanannyit le is adnak egy periódus alatt. Könnyen látható ez például egy kondenzátort töltő szinuszos feszültségjelnél:

Ennek egy periódusra vett integrálja nulla, így az egy periódusra jutó átlagos teljesítményfelvétel is nulla.

Effektív érték

Az egy periódusra vagy adott időre vett átlagos teljesítményt effektív teljesítménynek is hívják, mivel ugyanakkora hatást jelent, mint az átlagértékkel azonos állandó teljesítményű jelé. Ellenállást tekintve - amikor tehát az összes teljesítmény távozik rendszerből - a teljesítmény a feszültség illetve áram négyzetével arányos. Így az effektív feszültség értéke a feszültség négyzetes átlagértékének négyzetgyöke, ami annak a DC feszültségértéknek felel meg, ami ugyanekkora átlagos teljesítményt hoz létre az egységnyi ellenálláson. Az igen elterjedten használt angol elnevezés a jelek effektív értékére RMS (feszültségnél V_RMS), ami a root-mean-square rövidítése.

Váltófeszültségű osztók

RC integráló áramkör

Számoljuk ki az alábbi áramkör kimeneti feszültségét:

A kimeneti feszültség a kondenzátoron eső feszültséggel egyezik meg, aminek kiszámításához alkalmazzuk a huroktörvényt: a generátor feszültsége megegyezik az alkatérszeken eső feszültségek összegével.

Elágazás nincs, ezért minden alkatrészen ugyanazt az áramot használhatjuk a feszültségek kifejezésére:

Mivel

így

Végül

Átrendezve

Ha |V_out(t)| ≪ |V_in(t)|, akkor V_in(t)-V_out(t) ≈ V_in(t), így

A kimenő feszültséget kifejezve

Az áramkör kimenetén tehát ebben az esetben a bemeneti feszültség integráljával közel arányos jel jelenik meg, ezért intergáló körnek is nevezik. Érthető ez abból is, hogy ekkor a kondenzátor töltőárama jó közelítéssel V_in(t)/R értékű, amit a kondenzátor integrál.

RC differenciáló áramkör

Az áramkör kapcsolási rajza a következő

Ebben az esetben a kimeneti feszültség az ellenálláson eső feszültséggel egyezik meg, aminek kiszámításához ismét alkalmazzuk a huroktörvényt: a generátor feszültsége megegyezik az alkatrészeken eső feszültségek összegével.

Mivel V_out(t) = V_R(t) = R⋅I(t)

Végül

Ha V_out(t) elhanyagolható V_in(t)-hez képest, akkor

Az áramkör kimeneti jele ebben az esetben közelítőleg arányos a bemeneti feszültséggel, ezért differenciáló körnek is nevezik.