Hálózatok felépítése, számolási alapok

• Alkatrészek vezetékekkel összekötve
• Csomópontok
  • két csomóponthoz feszültséget rendelhetünk (potenciálkülönbség, feszültségkülönbség)
  • egy csomóponthoz feszültséget rendelhetünk, ha van egy referenciapont (földpont)
• Ágak (szomszédos csomópontok között), áramot rendelünk hozzájuk
• Mennyiségek, melyeket kiszámítunk: feszültségek, áramok.
• Alkatrészekhez rendelhető
  • Feszültségesés (végpontjai közt mérhető feszültség/feszültségkülönbség): V vagy U
  • Átfolyó áram: I
  • Ezek összefüggése: V(I)
• Egyenletek
  • Alkatrészeket leíró törvények, feszültség-áram
  • Áramok összegzési törvényei: csomópontba befutó áramok összeadódnak
  • Feszültségek összegzési törvényei: sorba kapcsolt alkatrészeken a feszültségek összeadódnak
• Ideális áramköri elemekkel, törvényekkel számolunk
• Reális alkatrészek
  • az ideálistól valamennyire eltérően viselkednek
  • ideális alkatrészek kombinációjával pontosabban modellezhetőek

Hálózatok építőelemei

Vezeték

• Két kivezetéssel rendelkezik
• Feszültség – áram összefüggés: V(I)=0 V
• Bármekkora áram folyhat, nincs feszültségesés
• Az áram értékét az áramkör többi része határozza meg
• Reális vezeték
  • Egyszerű esetben elég kis ellenállásként kezelni.
  • Speciálisabb esetek: induktivitás, kapacitás más vezetékekkel, ...
• Alkalmazási területek
  • Alkatrészek összekötése
  • Jó vezetők reprezentálása

Elterjedt rajzjelek:

Szakadás

• Két kivezetéssel rendelkezik
• Feszültség – áram összefüggés: I(V)=0 A
• Bármekkora feszültség eshet rajta, nem folyik áram
• Az feszültség értékét az áramkör többi része határozza meg
• Reális szakadás
  • Egyszerű esetben elég nagy ellenállásként kezelni.
  • Speciálisabb esetek: kapacitás
• Alkalmazási területek
  • Feszültségmérők bemenete
  • Áramkörök feszültségbemenetei

Elterjedt rajzjelek:

Feszültséggenerátor

• Két kivezetéssel rendelkezik
• Feszültség – áram összefüggés: V(I)=V_G
• A feszültség nem függ a terheléstől, ki- vagy befolyó áramtól
• Az áram bármekkora lehet, értékét az áramkör többi része határozza meg
• Speciális eset: ha V_G = 0 V, akkor vezetékként viselkedik. Ez főleg akkor fontos, ha hatását ki szeretnénk iktatni az áramkör megváltoztatása nélkül, pl. a szuperpozíció tételének alkalmazásakor.
• Fontos a polaritásának figyelembe vétele.
• Reális generátor:
  • Egyszerű esetben sorba kötött ellenállással, impedanciával modellezhetjük.
  • A soros komponenst kimeneti impedanciának, belső ellenállásnak/impedanciának is nevezik.
  • A generátor áramkorláttal rendelkezik.
  • Gyakran csak áramot adnak, áramot felvenni kevésbé tudnak, azaz más tulajdonságokkal rendelkeznek ki- és befolyó áramok esetén.
• Alkalmazási területek
  • Tápfeszültségek reprezentálása
  • Jelforrások, bizonyos szenzorok kimeneti jeleinek reprezentálása
  • Áramkörök, részáramkörök kimeneti jeleinek reprezentálása

Elterjedt rajzjelek:

Áramgenerátor

• Két kivezetéssel rendelkezik
• Feszültség – áram összefüggés: I(V)=I_G
• Az áram nem függ a terheléstől, a kapocsfeszültségtől
• A kapocsfeszültség bármekkora lehet, értékét az áramkör többi része határozza meg
• Speciális eset: ha I_G = 0 A, akkor szakadásként viselkedik. Ez főleg akkor fontos, ha hatását ki szeretnénk iktatni az áramkör megváltoztatása nélkül, pl. a szuperpozíció tételének alkalmazásakor.
• Fontos az áram irányának figyelembe vétele.
• Reális generátor:
  • Egyszerű esetben párhuzamosan kötött ellenállással, impedanciával modellezhetjük.
  • A párhuzamos komponenst kimeneti impedanciának, belső ellenállásnak/impedanciának is nevezik.
  • Korlátozott feszültségtartományban működik.
  • A feszültség polaritása korlátozódhat egyféle értékre.
• Alkalmazási területek
  • Áramkörök, részáramkörök kimeneti jeleinek reprezentálása
  • Jelforrások, adott szenzorok kimeneti jeleinek reprezentálása

Elterjedt rajzjelek:

Vezérelt generátorok

• Négy kivezetéssel rendelkeznek (négypólusok):
  • A bemeneti oldaluk ideális feszültség- vagy árammérőként viselkedik.
  • A kimenetük ideális feszültség- vagy áramgenerátor.
• A kimeneti jel értékét a bementi jel értéke határozza meg adott függvény szerint. A kapcsolat gyakran lineáris.
• A négy különböző eset:
  • feszültségvezérelt feszültséggenerátor
  • áramvezérelt feszültséggenerátor
  • feszültségvezérelt áramgenerátor
  • áramvezérelt áramgenerátor
• Alkalmazási területek
  • Alkatrészek, áramkörök bemeneti és kimeneti részeinek reprezentálása, működésük leírása.
  • Tranzisztorok, szenzorok, egyéb komponensek reprezentálása.

Elterjedt rajzjelek:

Voltmérő, feszültségmérő

• Elv: nem szabad az áramkör működését befolyásolnia
• Két kivezetéssel rendelkezik
• Az áramkör két pontjára kötjük az áramkör megbontása nélkül. Alkatrészen eső feszültség mérésekor az alkatrésszel párhuzamosan kell kötni.
• Feszültség – áram összefüggés: I(V)=0 A
• Szakadásként viselkedik, így nem befolyásolja az áramkör működését.
• A feszültség nagyságát és előjelét is méri, pozitív és negatív kivezetéssel rendelkezik.
• Reális voltmérő:
  • Egyszerű esetben párhuzamosan kötött ellenállással, impedanciával modellezhetjük.
  • A párhuzamos komponenst bemeneti impedanciának, belső ellenállásnak/impedanciának is nevezik.
• Alkalmazási területek
  • Mérőműszerek reprezentálása
  • Áramkörök bemenetének reprezentálása

Ampermérő, árammérő

• Elv: nem szabad az áramkör működését befolyásolni
• Két kivezetéssel rendelkezik
• Vezetéken, alkatrészen átfolyó áram mérésére használjuk
• A vezetéket megbontva, az alkatrésszel sorba kötjük.
• Feszültség – áram összefüggés: V(I)=0 V
• Rövidzárként, vezetékként viselkedik, nem esik rajta feszültség, így nem befolyásolja az áramkör működését.
• Az áram nagyságát és irányát is méri. Az áramérték pozitív, ha a pozítív kivezetésbe folyik be és a negatív kivezetésből folyik ki az áram. Ez a technikai áramirány, azaz a pozitív töltéshordozók mozgási iránya.
• Reális ampermérő:
  • Egyszerű esetben sorosan kötött ellenállással, impedanciával modellezhetjük.
  • A soros komponenst belső ellenállásnak/impedanciának is nevezik.
• Alkalmazási területek
  • Mérőműszerek reprezentálása
  • Áramkörök bemenetének reprezentálása

Ellenállás

• Két kivezetéssel rendelkezik
• Feszültség – áram összefüggés: V(I)=R⋅I
• Ohm törvénye: az ellenálláson eső feszültség arányos a rajta átfolyó árammal.
• Az áram a pozitívabb feszültségű kivezetéstől a negatívabb feszültségű felé folyik. Ez felel meg a technikai áramiránynak.
• Reális ellenállás:
  • Egyéb komponensek: induktivitás, kapacitás.
  • Hőmérsékletfüggés, feszültségfüggés, zajfeszültség, öregedés, stb.
• Alkalmazási területek
  • Fogyasztók reprezentálása
  • Áramkorlátozás
  • Feszültségosztás
  • Áramosztás
  • Árammérés, áram-feszültség átalakítás
  • Áramkörök működési paramétereinek beállítása

Elterjedt rajzjelek:

Földelési pont

• Egyetlen kivezetéssel rendelkezik.
• Az áramkörök feszültségeinek viszonyítási pontja: minden csomópont feszültségét ehhez képest mérjük. Így lehetséges egy csomópont feszültségét értelmezni.
• Általában az áramkörök tápfeszültségének nullpontjával azonos.
• Bizonyos áramköröknél, eszközöknél össze van kötve a védőföldeléssel is (pl. oszcilloszkóp).
• Gyakorlatilag a legtöbb áramkör esetén definiált, használatos, de lehetnek kivételek is.

Elterjedt rajzjelek:

Földeletlen (földfüggetlen) komponensek

• A komponensek egyik kivezetése sincs a földponttal összekötve. Pontosabban: olyanok, melyeknél elkerülhető, hogy a kivezetéseik a földponthoz legyenek kötve.
• Feszültséggenerátorok
  • Lebegő (floating) feszültségforrásnak is nevezik.
  • Az áramkör bármely pontjára köthetők, tetszőleges polaritással köthetők be, sorba is köthetők.
  • Példák: elemek, akkumulátorok, földeletlen fali adapterek, fényelemek.
• Áramgenerátorok
  • Az áramkör bármely pontjára köthetők, tetszőleges polaritással köthetők be.
  • Példák: fotodiódák, áramkimenetű hőmérsékletszenzorok, földfüggetlen áramforrások.
• Voltmérők, árammérők
  • Az áramkör bármely pontjára, tetszőleges polaritással köthetők be.
  • Példák: digitális multiméterek.
• Fogyasztók, terhelések
  • Az áramkör bármely pontjára köthetők. Lehetnek ohmikusak (ellenállással reprezentálhatók) vagy más komponenssel (pl. diódával) leírhatók.
  • Példák: áramköri fokozatok bemenetei, motorok, hangszórók tekercsei, izzók, LED-ek.

Földelt (földfüggő) komponensek

• A komponensek egyik kivezetése a földponttal megbonthatatlanul össze van kötve.
• Feszültséggenerátorok
  • Az ilyen generátoroknak csak az egyik kivezetését köthetjük szabadon az áramkör különböző pontjaira.
  • Gyakran a földelési pont is ki van vezetve, de azt csak az áramkörünk földpontjára köthetjük.
  • A földelt generátorokat nem köthetjük sorba, nem növelhetjük így a feszültséget.
  • A földelt generátorokat nem köthetjük be fordított polaritással földelt áramkörökbe.
  • Példák: hálózati feszültség, földelt asztali tápegységek, USB tápfeszültség, autók akkumulátora (testpontra kötés).
• Áramgenerátorok
  • Az egyik kivezetésük földelt, így csak egyik kivezetéseüket köthetjük be szabadon.
  • Az áram csak a földpont felé vagy onnan kifelé folyhat, nem folyhat két tetszőleges áramköri pont között.
  • Példák: tranzisztoros, integrált áramkörös áramgenerátorok, áramkimenetű D/A konverterek.
• Voltmérők, árammérők
  • Az ilyen műszereknek csak az egyik kivezetését köthetjük szabadon az áramkör különböző pontjaira.
  • A földelési pont is ki van vezetve, de azt csak az áramkörünk földpontjára köthetjük.
  • A földelt műszereket nem köthetjük be fordított polaritással földelt áramkörökbe.
  • Példák: oszcilloszkóp, áramörök feszültségbemenetei (pl. mikrovezérlők analóg bemenetei).
• Fogyasztók, terhelések
  • Áramörök bemeneti fokozatai és más terhelések is lehetnek földfüggők, azaz a 0 V-hoz képest mérhető feszültség működteti őket, az áramkör lényegében a földponton keresztül záródik.
  • Példák: áramköri fokozatok bemenetei, földelt LED-ek.

Áramköri példák

Lebegő generátorok, földeletlen áramkör

Az alábbi áramkör esetén nincs kijelölt földpont. Ebben az esetben csak két csomópont közötti feszültségkülönbségekről beszélhetünk. A generátorok lebegők, földfüggetlenek.

Bár minden alkatrész kivezetésein látható csomópont, vezetékkel összekötöttek, azonos potenciálon vannak, így összevonhatók:

A hálózatszámítások során elhagyhatók azok a csomópontok, melyeknél nincs elágazás, az áram az ilyen ágakhoz tartozó minden komponens esetén ugyanakkora. Végül csak két csomópont marad a hálózatban:

A B és H csomópontok közötti feszültségkülönbség háromféleképp írható fel, megegyezik

• az R₁,V_G1 és R₄ alkatrészeken eső feszültségek összegével
• a V_G2 és R₂ alkatrészeken eső feszültségek összegével
• a V_G3 és R₃ alkatrészeken eső feszültségek összegével

Kiszámítani tehát csak a B és H csomópontok közötti feszültséget és a három ághoz tartozó áramot szükséges. Ezekből az áramkör bármely alkatrészén és vezetékén folyó áram és bármely két pont közötti feszültség kiszámítható.

Lebegő generátorok, referenciaponttal (földponttal).

Célszerű kijelölni egy vonatkoztatási pontot is, amihez minden csomópont feszültségét viszonyítjuk:

Ebben az esetben beszélhetünk egy csomópont feszültségéről. A B csomópont V_B feszültsége tehát a földponthoz, azaz a kiválasztott 0 V-os ponthoz képest mérendő. A 0 V kijelölése nem feltétlen jelent tényleges földelést (a Földhöz kötést, védőföldelést), elemes áramköröknél is tipikus az elnevezés és kijelölés használata, egyszerűbbé teszi az áramkörök kezelését.

Hálózatok földelt generátorokkal, földponttal

Ha a generátorok nem lebegők, azaz minden generátor egyik kivezetése közös pontra van kötve, amit nem változtathatunk meg, akkor ezt a közös pontot választjuk az áramkör földpontjának. A fentebbi áramkör V_G1 generátora nem teljesíti ezt a feltételt, így csak lebegő lehet.

Előfordul, hogy a földpontokat több helyre tesszük azért, hogy vezetékeket hagyhassunk el. Természeseten minden csomópont összekötöttnek tekintendő, ami földpontra van kötve.

A generátorok, mérési pontok helyett gyakran csak egy címkével ellátott vezetéket használunk, tudjuk, hogy a feszültség a földponthoz képest értendő.

Alapvető törvények

Ohm törvénye

Az ellenálláson eső feszültség arányos a rajta átfolyó árammal. Az áram a pozitívabb feszültségű kivezetéstől a negatívabb feszültségű felé folyik. Ez felel meg a technikai áramiránynak.

Az ellenálláson eső feszültség az ellenállás végpontjai közötti feszültségkülönbség, ügyelni kell arra, hogy mindig vegyük figyelembe mindkét kivezetést ennek meghatározásakor.

Kirchhoff csomóponti törvénye

Egy csomópontba befolyó áramok összege megegyezik a kifolyó áramok összegével.

Másik megfogalmazás: a csomópontba befolyó áramok algebrai összege nulla. A kifolyó áramok előjele negatív.

Tetszőlegesen felvehetjük az áramok irányát (negatív lesz a számítás után, ha nem a valóságost vettük fel)

vagy:

Kirchhoff huroktörvénye

Egy zárt áramköri hurokban az áramköri elemeken eső feszültségek összege nulla.

A törvény egyszerűen abból következik, hogy a sorba kapcsolt alkatrészeken eső feszültségek összeadódnak. Minden alkatrészen eső feszültség előjelét a körüljárási irányhoz viszonyítjuk, ahogy az alábbi ábrán kiválasztott hurok esetén láthatjuk. A voltmérők pozitív kivezetése az óramutató járásának irányába esik.

Ebbe behelyettesítve a generátorokon és ellenállásokon eső feszültségeket a következőt kapjuk:

Az ellenállásokra kötött voltmérők negatív értéket mutatnak, ha az áram a felvett iránynak megfelelő. Ha ez a valóságban nem így lenne, akkor az áramra negatív értéket fogunk kapni a számítások során. Látható, hogy a harmadik műszer is negatív értéket mutat, mivel a generátorra ellentétes polaritással van kötve.

Jobban érthető a törvény, ha máshogy rajzoljuk le az áramkört. A felső voltmérő a négy voltmérő által mért feszültségek összegét méri. A kivezetéseit egy vezeték köti össze, így 0 V-ot mutat.

Egy voltmérő használatával is szemléltethetjük a törvényt. A voltmérő negatív kivezetését egy kiválasztott pontra kötjük és itt is hagyjuk. A pozitív kivezetést a körüljárási iránynak megfelelően mindig a szomszédos csomópontra mozgatjuk. Az alábbi ábrán az első lépés látható, a voltmérő az első alkatrészen eső feszültséget méri.

A második lépés során a voltmérő az első és második alkatrészen eső feszültségek összegét méri.

A harmadik lépés során a voltmérő az első, második és harmadik alkatrészen eső feszültségek összegét méri.

Az utolsó lépésben a voltmérő a hurokhoz tartozó összes alkatrészen eső feszültségek összegét méri. Mivel a voltmérő mindkét kivezetése azonos pontra kerül, a mért feszültség 0 V.

Kirchhoff huroktörvényének másik alakja

Egy zárt áramköri hurokban a generátorok által létrehozott feszültségek összege megegyezik a passzív komponenseken eső feszültségek összegével.

Gyakran praktikusabb a törvényt ebben az alakban használni. Ebben az esetben ellentétes körüljárási iránynak megfelelően kell alkalmazni a generátorokra kötött voltmérőket és a passzív alkatrészekre kötött voltmérőket.

A legegyszerűbb esetben egy generátort és egy ellenállást használunk. Az áramkörben ugyanaz az áram folyik minden alkatrészen, nincs elágazás sem. A két voltmérő ellentétes körüljárási iránynak megfelelelően van bekötve, nyilvánvaló, hogy azonos értéket mutatnak. Az áram a generátor pozitív kivezetése felől a negatív felé folyik, így az ampermérő is pozitív értéket jelez ki. Az ellenálláson az Ohm-törvénynek megfelelően az áram a pozitívabb feszültségű kivezetésétől a negatívabb felé folyik.

Az egyenlet tehát:

vagyis:

A fentebbi, négy komponenst tartalmazó hurok esetén az alábbi elrendezést kell használnunk:

A törvény szerint:

Ebbe behelyettesítve a generátorokon és ellenállásokon eső feszültségeket a következőt kapjuk:

Az ellenállásokra kötött voltmérők pozitív értéket mutatnak, ha az áram a felvett iránynak megfelelő. Ha ez a valóságban nem így lenne, akkor az áramra negatív értéket fogunk kapni a számítások során. Látható, hogy a harmadik műszer is negatív értéket mutat, mivel a generátorra ellentétes polaritással van kötve.

Feszültség- és áramosztó áramkörök

Feszültségosztó

A következő ábrán látható két ellenállásból álló feszültségosztó gyakran előfordul az alkalmazásokban. Az áramkör feszültséget oszt fel változtatható arányban.

Kirchhoff huroktörvénye alapján az ellenállásokon eső feszültségek összege megegyezik a generátor feszültségével, és mindkét ellenálláson ugyanakkora áram folyik át. A generátor feszültségének és áramának hányadosa a két ellenállás soros eredőjével egyezik meg. Ezekből következően:

Az ellenállásokon mérhető feszültségeket megkaphatjuk a rajtuk átfolyó áram és az ellenállás szorzataként, így végül:

Áramosztó

Az áramosztó áramot bont szét változtatható arányban.

Kirchhoff csomóponti törvénye alapján az ellenállásokon átfolyó áramok összege megegyezik a generátor által létrehozott árammal, és mindkét ellenálláson ugyanakkora feszültség esik. A generátor feszültségének és áramának hányadosa a két ellenállás párhuzamos eredőjével egyezik meg. Ezekből következően:

Az ellenállásokon átfolyó áramokat megkaphatjuk a rajtuk eső feszültség és az ellenállás hányadosaként, így végül: