A csomóponti potenciálok módszere

Minden alkatrész kivezetése egy csomópontot jelent. A számoláskor elég azokat a csomópontokat figyelembe venni, amelyekbe legalább három vezeték fut be. A többinél nincs áramelágazás, így azokra nem szükséges a csomóponti törvényt felírni.

Alkalmazási példa

A csomóponti egyenletek. A bal oldalon a befolyó áramok, a jobb oldalon a kifolyó áramok összege van.

Az ágak egyenletei. Pozitív egy generátor járuléka, ha a pozitív kivezetése a kiindulási csomópont felé esik. Pozitív egy ellenálláson eső feszültség járuléka, ha a rajta átfolyó áram a kiindulási csomópont felől folyik át rajta.

Példa áramgenerátorral

Az alábbi áramkörben egy áramgenerátor is van.

A csomóponti egyenletek

Az ágak egyenletei, figyelembe véve, hogy a B csomópont földelt, azaz V_B = 0 V:

Hurokáramok módszere

A módszer a huroktörvény alkalmazását jelenti egy speciális formában.

A huroktörvény alkalmazása ágáramok használatával

Mielőtt megadnánk a módszer leírását, nézzünk először egy egyszerű példát a huroktörvény közvetlen használatára.

Az áramkörben az alkatrészek értékei adottak, nem ismerjük az ágakban folyó áramokat és a csomóponti feszültségeket. Ha a három ágáramot ki tudjuk számítani, akkor ezekből a csomóponti feszültségek is meghatározhatók. A szürke szaggatott vonalak három lehetséges áramköri hurkot jelölnek, melyekre felírhatjuk a huroktörvénynek megfelelő egyenleteket. A körüljárási irányt mindhárom huroknál az óramutató járásának megfelelően választjuk meg.

A bal oldali huroknál a generátor járuléka pozitív, mivel a választott körüljárási iránynak megfelelő áramot hozna létre. Az ágáramok az ellenállásokon akkor adnak pozitív járulékot, ha a körüljárási irányban folynak. Ennek megfelelően:

A jobb oldali huroknál a generátor járuléka negatív, mivel a választott körüljárási iránnyal ellentétes áramot hozna létre.

A külső hurokhoz tartozó egyenlet:

Láthatjuk, hogy a három egyenlet nem független, a harmadik az előző kettő összege. Szükséges még a csomóponti törvény használata is.

Fontos megjegyezni, hogy ahogy a csomóponti potenciálok módszerénél láttuk, áramgenerátorok esetén minden áramgenerátort külön ágnak kell venni. Ekkor természetesen ismert az ágáram, ami maga az áramgenerátor árama, aminek előjelének meghatározásához figyelembe kell venni az irányítást is.

A hurokáramok módszere: számítás hurokáramokkal

Jelentősen egyszerűsíthető a számítás, csökkenthető az egyenletek száma is, ha bevezetjük a hurokáramokat. Lényegében minden egyes hurokhoz egy fiktív áramot rendelünk, a tényleges áramok ezek kombinációjából adódnak:

• Ha egy alkatrész egyetlen hurokhoz tartozik, az hurokáram és az alkatrészáram nagysága megegyezik. Az előjelük azonos, ha azonos az irányuk.
• Ha egy alkatrész több hurokhoz tartozik, akkor a rajta átfolyó tényleges áram megegyezik a rajta átfolyó hurokáramok előjelhelyes összegével. Az alkatrészáramhoz pozitív járuékot az a hurokáram ad, melynek iránya megegyezik az alkatrészáraméval.

A hurokáramok használatával kapjuk meg végül a hurokármok módszerének lépéseit:

Alkalmazási példa

Az alábbi áramkörben hat ágáram van, ezek kiszámításához tehát hat egyenletet írhatunk fel, amihez további három csomóponti egyenlet is szükséges. A hurokáramok bevezetésével elegendő három összetettebb egyenletet megoldani.

A hurokegyenletek

Az ágáramokat egyszerűen megkaphatjuk a hurokáramok felhasználásával:

Példa áramgenerátorral

Nézzünk egy példát arra az esetre is, amikor áramgenerátor is van az áramkörben.

A hurkokat úgy kell felvennünk, hogy az áramgenerátor csak egy hurokhoz tartozzon, így az első hurok az áramkör külső részén megy körbe. Az első hurok egyenlete így:

A második hurokra vonatkozó egyenlet csak egy egyszerű értékadás:

Az előjel pozitív, mert a hurokáram irányítása megegyezik az áramgenerátor áramirányával.

Feltűnhet, hogy R₃ nem szerepel az egyenletekben. Természetesen szükség lesz rá, ha meg akarjuk határozni a rajta vagy az áramgenerátoron eső feszültséget.

Ellenállásmátrix-módszer

Az ellenállásmátrix-módszer megegyezik a hurokáramok módszerével, a matematikai formalizmus kompaktabb és egyben kötöttebb. A hurokáramok módszerének egyenleteit mátrix és vektorok segítségével írjuk fel:

A vektor- és mátrixelemeket a következőképp kapjuk meg:

Eredő ellenállás számolása ellenállásmátrix-módszerrel

Az ellenállásmátrix-módszer jól használható ellenálláshálózatok eredő ellenállásának kiszámítására. Az ellenálláshálózat két kivezetésére egy feszültséggenerátort kötünk, így egy új hurok jön létre. Erre az áramkörre alkalmazhatjuk a módszert, kiszámítjuk a generátort tartalmazó hurokban folyó hurokáramot, ami megegyezik az ellenálláshálózat két kivezetése között folyó árammal. Az eredő ellenállás tehát megegyezik a generátorfeszültség és a hozzá tartozó hurokáram hányadosával.

Alkalmazási példa

A feladat legyen a következő ellenálláshálózat eredő ellenállásának kiszámítása:

Adjuk hozzá a generátort és használjuk az ellenállásmátrix-módszert:

Az eredő ellenállást a V_G/i₅ adja meg.

A feszültségvektor komponenseit egyszerűen megkaphatjuk a fentebb ismertetett elveket követve. Csak az 5. hurokban van generátor, így a többi komponens 0.

Az ellenállásmátrixot is könnyen megkapjuk:

Az egyenletrendszert Gauss-eliminációval célszerű megoldani. Ezzel elérhetjük, hogy a mátrix utolsó sorában csak az utolsó oszlopban legyen nullától különböző érték. Ez éppen az eredő ellenállás lesz, mivel a feszültségvektor utolsó eleme a generátor feszültsége.