Váltóáramú hálózatok

Elektronika I

Gingl Zoltán - Műszaki Informatika Tanszék, Szegedi Tudományegyetem
2020 © CC BY 4.0,

Tartalom

A lecke bevezetést ad a váltóáramú hálózatok számításának alapjaiba. Az alkatrészek feszültség-áram viszonya általánosabban, differenciálással és integrálással írható le időfüggő jelek esetén, ennek ismeretében használhatók az egyenáramú kezelésre vonatkozó módszerek is. Időtartományban leggyakrabban differenciálegyenleteket kell megoldanunk a működés leírásához. Az alkalmazási példák segítenek megérteni az elméleti hátteret, a kapcsolási rajzok ábrái alatti linkeken azonnali on-line áramkörszimuláció is indítható. A kiemelten fontos, alapismereti részeket piros keret jelöli meg, ezek magabiztos tudása elengedhetetlen az elektronika egyetemi szintű ismeretéhez.

Tartalom

Időfüggő jelek hálózatokban
Az alkatrészek egyenletei
Ellenállás
Kondenzátor
Induktivitás
A kapacitás és induktivitás összehasonlítása
Teljesítményfelvétel, effektív értékek
Effektív érték

DC - direct current
- Egyenáram, egyenfeszültség.
- Időben állandó áram és feszültség az áramkörben.
- DC jelekként kezeljük az olyan lassan változó jeleket is, melyek esetén a viselkedés olyan, mint időben állandó jelek esetén.
AC - alternating current
- Váltakozó áram, váltakozó feszültség.
- Általánosabb a jelentése: időfüggő áram és feszültség.
- A jelek adott időpillanatbeli értékét befolyásolják a múltbeli értékek is. Egyfajta tárolás valósul meg.

Időfüggő jelek hálózatokban

A generátorok jelei időfüggőek
A hálózatszámítási törvények érvényesek
Az alkatrészek egyenletei
- Feszültség és áram összefüggése
- Generátoroknál, ellenállásoknál csak a pillanatnyi értékek számítanak
- Kapacitások és induktivitások
  - lineárisak az egyenletek, melyek leírják a működésüket
  - nem arányosak a pillanatnyi feszültség- és áramértékek
  - számít a mennyiségek múltbeli értéke is
  - differenciálegyenletek szükségesek a leíráshoz
A generátorokhoz, mért feszültségekhez, áramokhoz továbbra is rendelhető előjel
- ez irányítást jelent
- a komponens áramának irányát, a rajta eső feszültség viszonyát adja meg választott irányhoz képest
- mérési utasítást is jelent egyben

Az alkatrészek egyenletei

Ellenállás

Az ellenállás (resistor) ugyanúgy viselkedik időben állandó és időfüggő jelek esetén, a pillanatnyi feszültség és áram is arányos egymással:

Ennek megfelelően az összes hálózatot leíró egyenlet is olyan, mint egyenáramú esetben. Érvényesek az Ohm-törvény mellett a Kirchhoff-törvények, A Thevenin- és Norton-tétel, a szuperpozicíó tétele is.

Kondenzátor

A kondenzátoron vagy más néven kapacitáson (capacitor) eső feszültség arányos a rajta felhalmozódott töltésmennyiséggel:

Mivel a töltésmennyiség az áram integrálásával adható meg, ideális kondenzátorra a feszültség-áram összefüggésre ezt kapjuk:

A viselkedés jellemzésére bizonyos esetekben a következő alak alkalmasabb lehet:

Néhány fontosabb megállapítás a kondenzátorok működésével kapcsolatban:

Állandó feszültség esetén nem folyik áram.

DC jelek esetén szakadásként viselkedik, nem vezet.

Feszültségugrás hatására ideális kondenzátor esetén végtelen nagy áramimpulzus jön létre

Bekapcsolás: nagy pozitív (töltő-) áramimpulzus

Kikapcsolás: nagy negatív (kisülési) áramimpulzus

Alkalmazási példa

Egy 1uF-os kondenzátor kezdeti feszültsége a t₁=0s időpillanatban 2V, állandó I₀=1uA árammal töltjük 3s ideig. Mekkora lesz rajta a feszültség?

A kondenzátor energiát tud tárolni:

Töltéseket tárol, ezzel feszültséget tart fenn, ami áramot tud létrehozni más áramköri komponenseken
A tárolt energia mennyisége:
\( \frac {1}{2} \cdot C \cdot V^2 \)
A dielektrikumtól jelentősen függ a kapacitás
Az ideális kondenzátoron nincs teljesítményveszteség
- a teljes betáplált energiát visszanyerhetjük
- nem melegszik, energia semmilyen formában sem távozhat
- reális kondenzátoroknál az ellenálláskomponensek és a dielektrikum is disszipálhatnak energiát

Hogyan számítható ki a tárolt energia mennyisége?

Tegyük fel, hogy egy C kapacitású kondenzátor V₀ feszültségűre van feltöltve. Ekkor a tárolt töltésmennyiség Q₀=C⋅V₀. Süssük ki a kondenzátort állandó I₀ árammal, azaz a teljes tárolt energiát vegyük ki a kondenzátorból és számítsuk ki ennek értékét. Ha az áram értéke I₀=Q₀/T=C⋅V₀/T, akkor a kisütés éppen T ideig tart az alkatrészt leíró összefüggés szerint. Az állandó áram hatására a töltésmennyiség, és ezzel a feszültség is lineárisan csökken az idő függvényében:

A pillanatnyi teljesítmény

A teljes kivett energia kiszámításához a pillanatnyi teljesítményt kell 0 és T között integrálni t szerint. Mivel

Végül tehát a V₀ feszültségűre feltöltött C kapacitáson tárolt energia mennyisége valóban

Induktivitás

Az ideális induktivitás (inductor) esetén a feszültség-áram összefüggés a következő

Állandó áram esetén nem esik feszültség az induktivitáson.

DC jelek esetén rövidzárként (vezetékként) viselkedik.

Ugrásszerű áramváltozás esetén ideális induktivitáson végtelen nagy feszültségimpulzus jön létre

Bekapcsolás: nagy pozitív feszültségimpulzus

Kikapcsolás: nagy negatív feszültségimpulzus

Alkalmazási példa

Egy L=1mH értékű induktivitáson I₀=1A amplitúdójú, f=1kHz frekvenciájú szinuszos átfolyó áramot mérünk. Számítsuk ki a rajta eső feszültséget! Az induktivitásra vonatkozó képlet alapján:

A feszültség tehát ugyanolyan frekvenciájú, ugyanolyan alakú jel, de a fázisa π/2-vel tér el, mivel cos(2πf⋅t)=sin(2πf⋅t+π/2). Az amplitúdója 2πf⋅L⋅I₀=2π⋅1000Hz⋅0.001H⋅1A≈6,283 V.

Az induktivitás energiát tud tárolni:

Áramot, illetve ez által létrehozott mágnességet tárol, ami feszültséget tud létrehozni változásakor
A tárolt energia mennyisége:
\( \frac {1}{2} L \cdot I^2 \)
A mag anyagától függő az energiatárolási képesség
Az induktivitáson nincs teljesítményveszteség
- a teljes betáplált energiát visszanyerhetjük
- nem melegszik
- energia nem távozhat, kivéve a létrehozott mágneses téren keresztül (pl. motorok esetén)
- reális induktivitásoknál az ellenálláskomponens és a mag is disszipálhatnak energiát

Hogyan számítható ki a tárolt energia mennyisége?

Tegyük fel, hogy egy L értékű induktivitáson I₀ állandó áram folyik át. Ekkor a rajta eső feszültség 0V, nincs energiaveszteség, a leadott/felvett teljesítmény zérus. Csökkentsük nullára az áramot lineárisan T idő alatt. Az áram időfüggése ebben az esetben:

A feszültség az áram csökkenése idejére az áramból számítható ki, V₀=L⋅I₀/T értéket vesz fel. A pillanatnyi teljesítmény

A teljes kivett energia kiszámításához a pillanatnyi teljesítményt kell 0 és T között integrálni t szerint. Mivel

Végül tehát a tárolt energia mennyisége valóban

A kapacitás és induktivitás összehasonlítása

A kapacitás és induktivitás ugyanúgy viselkedik, ha az áram és feszültség szerepét fordítottnak tekintjük esetükben:

Más formában:

Kondenzátor és induktivitás esetén az alkatrészen eső feszültség és az átfolyó áram összefüggése differenciálhányadossal adható meg, így a jelek viselkedésének leírására ez felhasználható

Állandó érték esetén a derivált nulla

kondenzátor: állandó feszültségnél az áram nulla
induktivitás: állandó áramnál a feszültség nulla

Növekedésől csökkenésbe váltáskor a derivált előjelet vált

kondenzátor: az áramirány vált, ha a feszültség maximumon vagy minimumon megy át
induktivitás: a feszültség polaritása vált, ha az áram maximumon vagy minimumon megy át

Egyenletesen változó mennyiségeknél a derivált állandó értékű

kondenzátor: állandó áram mellett a feszültség egyenletesen nő vagy csökken
induktivitás: állandó feszültség mellett az áram egyenletesen nő vagy csökken

Szinuszos feszültség esetén az áram is szinuszos alakú

kondenzátor:
- \( I(t)=C \cdot \frac {d V_0 \cdot \sin(2 \pi f t)}{dt}=2 \pi f \cdot C \cdot V_0 \cdot \cos(2 \pi f t)=2 \pi f \cdot C \cdot V_0 \cdot \sin \left(2 \pi f t+\frac {\pi}{2} \right) \)
- \( \displaystyle V(t)=V_0 \cdot \sin(2 \pi f t) \to I(t) = 2 \pi f \cdot C \cdot V_0 \cdot \sin \left(2 \pi f t+\frac {\pi}{2} \right) \)
- a feszültség és áram amplitúdójának aránya \( \displaystyle \frac {1}{2 \pi f \cdot C} \)
- az áram kezdőfázisa a feszültségéhez képest π/2-vel nagyobb (a feszültség negyed pediódusidővel késik)
induktivitás:
- \( V(t)=L \cdot \frac {d I_0 \cdot \sin(2 \pi f t)}{dt}=2 \pi f \cdot L \cdot I_0 \cdot \cos(2 \pi f t)=2 \pi f \cdot L \cdot I_0 \cdot \sin \left(2 \pi f t+\frac {\pi}{2} \right) \)
- \( \displaystyle I(t)=I_0 \cdot \sin(2 \pi f t) \to V(t) = 2 \pi f \cdot L \cdot I_0 \cdot \sin \left(2 \pi f t+\frac {\pi}{2} \right) \)
- a feszültség és áram amplitúdójának aránya \( \displaystyle 2 \pi f \cdot L \)
- a feszültség kezdőfázisa az áraméhoz képest π/2-vel nagyobb (az áram negyed pediódusidővel késik)

Teljesítményfelvétel, effektív értékek

Az alkatrészek által felvett teljesítmény pillanatnyi értéke az alkatrészen eső feszültség és az alkatrészbe folyó áram szorzata:

Akkor tekintendő azonosnak V(t) és I(t) előjele, ha az áram a pozitívabb feszültségű kivezetésébe folyik be.
Ha a teljesítmény pozitív, az alkatrész energiát vesz fel, ellenkező esetben energiát ad le.

Ezt azzal tehetjük érthetővé, hogy a pozitívabb kivezetésbe folyó áram fenntartásához energia betáplálása szükséges, hiszen a pozitív kivezetés épp az ellenkező irányba kényszerítené a pozitív töltéshordozókat.

Ellenállás esetén az Ohm-tövény felhasználásával a teljesítményfelvétel:

Ez az érték mindig pozitív, mert az áram az ellenállás pozitívabb feszültségű kivezetésbe folyik be, azaz az ellenállás mindig energiát vesz fel az áramkörből, ami hővé alakulva távozik a rendszerből.

Kondenzátor esetén:

Ez az érték pozitív és negatív is lehet, attól függően, hogy a kondenzátor energiát vesz fel vagy ad le.

Induktivitás esetén:

Ez az érték szintén lehet pozitív és negatív is, ami az energiaáramlás irányát adja meg.

Látható, hogy DC jelek esetén a kondenzátor és induktivitás teljesítményfelvétele nulla.

Időfüggő jeleknél egy adott idő alatt felvett átlagos teljesítmény informatívabb lehet, mint a pillanatnyi teljesítmény. Ellenállások például nem tudják a környezetüknek gyorsan átadni a hőt, így az ingadozó elektromos teljesítmény sokkal kevésbé ingadozó hőmérsékletet jelent, átlagos értékkel jobban megadható. Periodikus jeleknél az egy periódusra számított átlagos teljesítményt érdemes kiszámítani. Kondenzátorok és induktivitások átlagos teljesítményfelvétele nulla, amennyi energiát felvesznek, ugyanannyit le is adnak egy periódus alatt. Könnyen látható ez például egy kondenzátort töltő szinuszos feszültségjelnél:

Ennek egy periódusra vett integrálja nulla, így az egy periódusra jutó átlagos teljesítményfelvétel is nulla.

Effektív érték

Az egy periódusra vagy adott időre vett átlagos teljesítményt effektív teljesítménynek is hívják, mivel ugyanakkora hatást jelent, mint az átlagértékkel azonos állandó teljesítményű jelé. Ellenállást tekintve - amikor tehát az összes teljesítmény távozik rendszerből - a teljesítmény a feszültség illetve áram négyzetével arányos. Így az effektív feszültség értéke a feszültség négyzetes átlagértékének négyzetgyöke, ami annak a DC feszültségértéknek felel meg, ami ugyanekkora átlagos teljesítményt hoz létre az egységnyi ellenálláson. Az igen elterjedten használt angol elnevezés a jelek effektív értékére RMS (feszültségnél V_RMS), ami a root-mean-square rövidítése.

Alkalmazási példa: PWM jel effektív értéke

Egy PWM feszültségjel periódusideje 8ms, 6ms-ig 0V, utána 4V értéket vesz fel. Mennyi az effektív értéke? A jel tehát szakaszonként konstans, az első részben 0V, ennek megfelelően az effektív érték négyzete:

Az effektív feszültség ennek négyzetgyöke, azaz 2V.

Jegyezzük meg, hogy az átlagérték nem egyezik meg ezzel:

Gyakran használunk PWM jelet közelítőleg DC jel előállítására, de tartsuk szem előtt, hogy az effektív érték nem egyezik meg a DC értékkel.

Alkalmazási példa: a hálózati feszültség amplitúdója

Mekkora a hálózati feszültség amplitúdója, ha az effektív értéke 230V? Mivel a feszültség szinuszosnak tekinthető, a feszültség időfüggése az alábbi:

A V_A amplitúdójú jel frekvenciája f=50Hz, ennek reciproka a periódus, ami T=20ms. Az effektív érték négyzete:

A sin² függvényt helyettesítéssel integrálhatjuk:

Ez már könnyen kiszámítható felhasználva, hogy sin²(x) = (1-cos(2x))/2:

Ha vesszük a 0 és 2π integrálási határokat, akkor a szinuszos tag kiesik, az eredmény így:

Az effektív érték négyzete ennek megfelelően:

Az effektív érték tehát

Ebből adódik, hogy a hálózati feszültség amplitúdója közelítőleg 325V.

Ajánlások

Az áramkörök működésének megértéséhez sokat segítenek a szimulációk, ezeket hasznos elindítani.
Az elméleti rész megértéséhez, magabiztos használatához szükséges feladatokat megoldani, gyakorolni.
A feladatok megoldásának helyességét szimulátorral lehet ellenőrizni.
A numerikus számításoknál mindig érdemes SI mértékegységeket használni és a közbenső eredmények kerekítését kerülni. A végeredmény megadásánál célszerű a kívánt SI prefixumot és kerekítést használni.

Elektronika I

Jelen tananyag a Szegedi Tudományegyetemen készült az Európai Unió támogatásával. Projektazonosító: EFOP-3.4.3-16-2016-00014