Kalmár Breviárium

Egyéb gondolatok

"[...] írtam elõadásomat egy varsói matematikai logikai simpozumra egy olyan számológép tervérõl, amely közvetlenül, teht programozó program nélkül, megért a formula-nyelven felírt számolási feladatokat."

"Amint látod Bandikám, a matematikai nyelvészet e fejezete, mint a többi is, még nagyon cseppfolyós állapotban van, nem elõzõeg jól definiált fogalmakra vet fel precízen meghatározott problémát, mint az algebra, hanem sokszor az a probléma, hogy hogyan kell valamilyen fogallmat definiálni ahhoz, hogy a nyelvészeti interpretációban jól alkalmazható legyen. Szóval nem azoknak az operációkon van a hangsúly, amelyek egy adott struktúrában lehetségesek, hanem bizonyos nyelvészeti, tehát nem matematikai precizitással definiált operációkra kell minél jobban rájuk illõ matematikai modellt szerkeszteni. Ezért a matematikai nyelvészettel való, a nyelvészet szempontjából is alkotó foglalkozáshoz nem elég matematikai tehetség, hanem a nyelvészetbõl is sok mindent meg kell tanulni és matematikus szemmel megérteni. "

"Tudom, hogy a felsõoktatási reform alapelvei értelmében nem helyes, hogy ilyen kevés az algebrai elõdások és gyakorlatok száma. Hiszen a középiskolai tanárnak ahhoz, hogy jól tudjon matematikát (a középiskolai tanterv nyelvén: algebrát és geometriát) tanítani, algebrai tárgyak hallgatására, és jobban, mint analízis körébe tartozó tárgyak hallgatására."

"Pedig borzasztóan hálás voltam a Markoff különlenyomatért. Ez volt az elsõ orosz cikk, amit életemben elolvastamm Varga Tomi csak annyiban segített, hogy a szótárat kezelte közben. Nagy élmény volt, amikor a gondolatot megértettem belõle. Zseiális dolog, azt hiszem másféle megoldatlan problémát is át lehet foglamazni Delimosty problémára. Sajnos Post cikkét, amire hivatkozik, még mindig nem láttam, mert az American Journak pont ez a száma nem jött meg. Egyébként amit a torzsgyeszvo problémát illeti, ennek megoldhatatlanságát Markofftól függetlenül Post is megcsinálta a Journal of Symbolic Ligicban, szintén régebbi cikkeire hivatkozva. Skolem különben azt írta, hogy Post bebizonyította a csoportelméleti Wortproblem megoldhatatlanságát is, de lehet, hogy Skolem téved s az asszociatív rendszerek problémáját érti rajta. Most szeretnék orosz cikkeket olvasni, hogy ne jöjjek ki abból amibe belejöttem (más nyelveken is matematikán keresztül tanultam meg), bele is kezdtem néhányba, csak egyik sem olyan izgalmas, hogy ne tudja az ember abbahagyni."

"Ma kaptam meg Alexandrov cikkének fordítását. Örömmel tartom magam szempontjaihoz, hiszen Te tudod, hogy magam is hasonló szempontokat hirdetek idestova nyolc éve, ha nem is annyira a tankönyvek, mint inkább a matematikai elõadások feépítésével kapcsolatban. Talán csak a matematikának más tudományokkal és a technikával való kapcsolata az, amit elhanyagoltam [...], már rájöttem arra, hogy ez a következõ lépés a fejlõdésben és természetesen kapcsolódik az (általam régebben csak a matematikán belül hangoztatott) perspektíva-adás követelményeihez. De különben is ez elsõsorban majd a bevezetõ analízis-könyvem írásánál lesz döntõ szempont; a halmazelmélet, azt hiszem, inább a filozófiához kapcsolódik, mint a technikához. "

"[...] a matematikus dolga nem az irracionális szám (s hasonlóan a terület, ívhossz, stb.) fogalmát definiálni, legkevésbé olyan definícióval, amely a fogalomalkotásönkényességének elvén alapul, hanem: megállapítani ezeknek a fogalmaknak azokat a tulajdonságait, amelyek az objektív valóságnak a tudomány mai fejlettségi foka mellett lehetséges minél pontosabb leírására szükségesek. Ez más szóval azt jelenti, hogy ezeket a fogalmakat nem definiálni, hanem axiómatizálni kell. A kapott axiómarendszer tüzetesebb vizsgálata során természetesen sor kerül arra, hogy olyan modellt szerkesszünk más, bizonyos szempontból egyszerûbb fogalmak segítségével, amelyek az axiómákat kielégítik (pl. ellentmondástalanság-vizsgálatok során.)"

"A Whitehead-Russel-féle logicizmus, a kiválasztási axiómát elvetõ iskola, a Weyl-Brouwer-féle intuicionizmus alapján, annak kidomborításával, hgy ezeknek az irányoknak helyes értékelése ma már nemcsak a matemaatikai logikával foglalkozó matematikus számára nélkülözhetetlen hanem pl. az algebrista is csak a dialektikus materializmus alapján való értékelésük segítségével tud eligazodni az ilyen irányok befolyása alatt keletkezett algebrai cikkeken."

"Engem mindeig érdekelt az, ami érdekes, és nagyon sok érdekeset tanultam az egyetemen, nemigen válogattam akkor még közülük. Hanem aztán, mikor Szegedre kerültem, akkor az analitkus számelméleten kívül, ami a prímszámok eloszlásával is foglalkozik, megismerkedtem egy nagyon-nagyon izgalmas területtel, a matematikai logikával. Neuman Jánosnak egy dolgozatát olvastam, az ún. Hilbert-féle bizonyítás elméletrõl, és ebbõl értettem meg, hogy mi ez az izgalmas terület, amirõl Budapesten semmit se hallottam."

"A gépi elektronikus számológép is segítséggel végzett diagnosztika területén. Persze még csak az elsõ elõkészítõ lépéseknél tartunk, de ez egy olyan terület, ahol egész biztos, hogy az elektronikus számológép is épp úgy belekerül majd a diagnosztizáló orvos segédeszközei közé, mint ahogy az elektrokardigráf vagy az elektroenkkolográf vagy hogy egy régebbi példát mondjak, a röntgen készülék, természetesen ugye olyan adatokat szolgáltat az orvosnak, amelyek segítségére vannak a gégonozisban. Sose arról van szó, hogy az elektronikus számológép pótolni fogja az orvost, vagy akár bármilyen emberi tevékenységet. Nem arra való. Arra való, hogy segítse a feladatai megoldásában, pl. a diagnosztizáló orvost."

"Megmondom őszintén, hogy üresjáratú értekezleten nem szívesen veszek részt, de ha egyszer harconi kell igaz ügyért, akkor arra mindig kell, hogy találjak energiát, és olyankor mindig úgy érzem, hogy maga az ügy megadja azt a lehetséget, hogy legyen is rá energiám."

"A matematikust sosem érdekelte az, hogy mi van lefektetve a logika tankönyveiben. A matematikus a saját tapasztalatából tudta azt, hogy hogyan lehet jól gondolkodni. De amikor már olyan kérdések merültek fel, hogy valóban nem vezet-e ellentmondásra egy bizonyos gondolkodásmód, akkor meg kellett vizsgálni matematikai eszközökkel, matematikai precízséggel, hogy mik az összes helyes gondolkodásmódok, függetlenül attól, hogy benne vannak-e a logika tankönyvében, vagy nem."

"Minden tudomány igyekszik minél nagyobb egzaktságra törekedni, és ebben a matematika aa példaképe... a másik feltétele annak, hogy tényleg lehessen a különbözõ tudományágak, és a termelés különbözõ területén alkalmazni a matematikát, az volt, hogy maga a matematika is olyan irányban fejlõdjék, hogy közelebb kerüljön a többi tudományághoz.... Ennek a kettõnek az eredõje az, hogy a matematika a maga belsõ fejlõdés törvényeit is követve alkalmassabbá vált olyan kérdések vizsgálatára is, mint például a nyelvnek, mint bonyolult struktúrának a vizsgálatára. "

"A matematika tulajdonképpen sosem volt mennyiségtan, ezt a szót csak a nyelvújítás során találták ki. Engels a múlt században a matematika tárgyát úgy határozza meg, hogy a valóságos világ mennyiségi viszonyaivel és térformáival foglalkozik. Hát a tér fogmárk, mintminden forma természetesen minõségi elemet is rejtenek magukban, a mennyiségi viszonyok pedig nem mennyiségek, nem arról van szó, hogy többé vagy kevésbé, vagy milyen mértékben érvényesülnek, hanem arról, hogy egyátalán érényesülenk-e vagy nem."

"Egy kicsit kapcsolatos ez a sok teendõ azzal is, hogy egy születõ, új tudományágat képviselek. A születõ újnak mindig meg kell harcolni a maga harcát a konzervativizmus ellen, és aki egy ilyen tudoményágat képvisel, mint akár a matematikai logikát, akár a kibernetikát, annak bizony segítenie kell ezt a harcot megharcolnia, magának is részt kell ebben a harcban vennie... Megmondom õszintén, hogy üresjáratú értekezleten nem szívesen veszek részt, de ha egyszer harconi kell igaz ügyért, akkor arra mindig kell, hogy találjak energiát, és olyankor mindig úgy érzem, hogy maga az ügy megadja azt a lehetséget, hogy legyen is rá energiám."

"Közmondásos a matematika csalhatatlanságába vetett hit: olyan biztos, mint hogy kétszer kettõ négy, mondjuk valamirõl annak kifejezésére, hogy nem fér hozzá kétség. Talán csak az orvostudományban bíznak még hasonló mértékben a laikusok. Az orvos, betege érdekében is, csalhatatlannak mondja módszereit; egymás között azonban az orvosok is élesebb kritika alá veszik tudományuk eredményeit. Nekünk matematikusoknak is tisztáznunk kell, hogyan is áll a dolog a matematika csalhatatlanságával."

"A matematikának az ad tekintélyt a laikus elõtt, hogy a valóságra alkalmazva mindig helyes eredményre vezet; bizonyítéka ennek többek között minden mérnöki számítás szerint épített ház, lift, híd, amely nem dõl össze, nem szakad le. Ez a tény azonban nem pusztán a matematikán múlik, hanem a környezõ világnak egy éppenséggel nem magától értetõdõ tulajdonságán, e miatt ez a tény másképp nem igazolható, mint empirikusan."

"...mindaz, amit a természetrõl biztosan tudunk, a múltra s a jelenre vonatkozik; ezekbõl kell - megfelelõ elmélet felállítása és esetleg az idõt explicite nem is tartalmazó matematikai mûveletek útján - egy, rendesen a jövõre, esetleg a múltra vonatkozó ismeretlen adatot meghatároznunk. Egy cseppet sem magától értetõdõ, hogy a szóbanforgó f(t) függvények minden egyes esetben olyan függvénykategóriához tartoznak (pl. olyan differenciálegyenlet megoldásai közé), amelynél ilyen feladat megoldása lehetséges... A különbség e tekintetben a klasszikus fizika és a quantumelmélet között pusztán annyi, hogy az f(t) függvénynek a klasszikus fizikában egy-egy rendszerre vonatkozó jelentése van, míg a quantumelméletben csak olyan f(t) függvények szerepelnek, amelyeknek jelentése statisztikai, tehát sok rendszer együttes viselkedésére vonatkozik."

"Ez az elmélet tetszõleges elemekbõl álló összességekkel, halmazokkal foglalkozik. Jelentõsége abban van, hogy egységes rendszerbe foglalja a matematika valamennyi ágát...A halmazelmélet segítségével a matematika többi ágainak alapfogalmai is felépíthetõk... De nemcsak a matematika különbözõ fogalmai definiálhatók halmazelméleti foglamakkal, hanem a rájuk vonatkozó tételek is bebizonyíthatók a halmazelmélet tételei segítségével, úgyhogy végelemzésben a matematika minden ága a halmazelmélet részének tekinthetõ."

"...Ezzel a kétséggel szemeállíthatjuk azt a tényt, hogy sem a számelméletben, sem az exakt módon felépített analízisben, sem a geometriában nem találtam eddig ellentmondásokat. Nem volna azonban következetes dolog ennél a puszta empirikus érvnél megállnunk. Hiszen más területen, pl. a számelméletben még oly kiterjedt tapasztalatok alapján sem fogadunk el egy állítást tételnek, míg deduktív módszerrel be nem bizonyítjuk."

"... a matematika fejlõdõ organizmus, mind újabb és újabb ágai keletkezhetnek. Minden egyes ilyen ágnak, pl. a természetes számok aritmetikájának (számelméletnek), az analízisnek, az elemi geometriának stb. ellentmondásnélkülisége külön-külön bizonyításelméleti probléma."

"Kétségtelen, hogy pontosabb megfoglamazás nélkül is érezzük, mely fogalmak, tételek, problémák tartoznak pl. az aritmetika vagy az analízis körébe; továbbá minden matematikus érez magában képességet arra, hogy valamely matematikai meggondolásról eldöntse, helyes-e, vagy nem. Ez a képesség elegendõ arra, hogy a matematika egy-egy ágában kutatásokat végezzünk..."

"A legtöbb matematikus úgy gondolkodik..., hogy a matematika többi ágában em tart ugyan helyénvalónak semmi kételkedést, azonban a bizonyításelméletet sokkal szeptikusabban kezeli, mert ha már egyszer bebizonyítják neki valamely axiomarendszer ellentmondásnélküliségét, látni akarja, mennyiben jelent ez haladást, mennyiben ad olyasmit, amit eddig nem tudott."

"A matematikai kutatásnak két motivuma lehet. Az egyiket Hilbert így fogalmazta meg a párizsi matematikai kongresszuson: Itt a probléma, keresd a megoldást! A másikat talán így lehetne megfogalmazni: Van egy módszerem, mit kezdjek vele? Kétségtelen, hogy a matematikát mindig a problémák vitték igazán elõre; az olyan matematikus, aki mindig csak azt keresi, mi jön ki adott módszerekkel, elvben pótolható elég komplikált szerkezetû géppel. A probléma megoldását kutató matematikust az a meggyõzõdés szokta vezetni, hogy problémáját meg is lehet oldani."

"Nem kibúvó az sem, hogy amikor egy probléma megoldását keressük, nem gondolunk határozottan axiómarendszerre; a módszer, amelyeket alkalmazunk, mégis csak megfogalmazhatók valamilyen axióarendszerben; s e mellett olyan probléma is van, amely abszolút értelemben megoldhatatlan, függetlenül attól, hogy milyen axiómarendszerben dolgozunk, s hogy egyáltalán axiomatikusan gondolkodunk-e. Olyan tények és lehetõségek ezek, amelyekkel minden matematikusnak szembe kell néznie, hogy ne csak abban különbözzék a körnégyszögesítõtõl, hogy méyebb segéseszközökkel dolgozik. Örvendetes dolog, hogy ezt mind többen és többen belátják, s ma már nemcsak az öregebb matematikusok privilégiuma a matematika alapjainak kutatása, hanem a fiatalabbakat is érdekli ez a tárgykör. A megoldhatatlan problémák tisztázása csak hasznára válhat a matematikának."

"A matematikus számára a matematika nem csupán eszköz. A matematikust érdekli a probléma. Érdekes problémákkal foglalkozik, sokszor függetlenül attól, hogy alkalmazzák-e vagy sem, hogy mikor fogják alkalmazni. A tapasztalat mégicsak az, hogy elõb-utóbb alkalmazásra kerül, bár esetleg aki megalkotja, nem is gondol rá. Esetleg már az õ korában alkalmazzák, de akkor is sokszor az alkalmazást másra. Ez természetes dolog. A matematikus számára a matematika mindenesetre érdekes problémákra szolgáló elméletek gyûjteménye, és nem tisztán alkalmazási eszköz. Viszont érthetõ az, hogy a természettudományos kutató számára elsõsorban mint eszköz jöhet tekintetbe."

"[...] tehát a nyelv is struktúra, és csak azt kéne kideríteni, hogy milyen struktúrafajtához tartozik, vagyis milyen axiómákat elégít ki. Ezzel a kérdéssel magam is foglalkoztam egy-két cikkben, és úgy találtam, hogy minimum 11 komponensbõl kell megépíteni ezt a struktúrát, ami már eléggé bonyolult a matematikában eddig vizsgált struktúrákhoz képest."

"A hazai matematikusok ugyanis túl absztraktnak találták a matematikai logikát, mígnem meglepetésként jött a haír, hogy közvetlen alkalmazásra talált. Én magam is úgy képzeltem addig, hogy a matematikai logika sok lépcsõn keresztül tér csak vissza a valósághoz. Alkalmazható a matematikára, mert szilárdabban megalapozott elméleteket lehet segítségével alkotni. Ez a matematika esetleg az elméleti figizkára hat, az a kísérleti fizikára, majd az a technikára, s ennek lesz valami gyakorlati alkalmazása. Nagyon soklépcsõsnek képzeltem, mielõtt megtudtam, hogy a villamosmérnöki tervezésnek újabban a matematikai logika egyik fejzete, az ítéletkalkulus, ill. a belõle kinõtt Boole-féle algebra egyik fontos segédeszköze."

"Én mindig pedagógusnak éreztem magam, annak ellenére, hogy középiskolában, a gyakorló év kivételével, nem tanítottam, mert mindjárt az egyetemre keültem tanársegédnek. Mindig azt tartottam, hogy az egyetemen az a feladatom, hogy nehéz kérdéseket könnyûvé tegyek a tanítványaim részére."

"Én arra igyekeztem mindig, hogy ne csak a tehetségek értsék meg az anyagot. Amíg még elég kevés hllgatónk volt, volt arra mód, hogy egyénileg intenzívebben foglalkozzon az ember mindegyikkel. Még egyetemi hallgató koromban évfolyamtársaimmal sokat foglalkoztam, beszélgettem matematikai kérdésekrõl. Sosem az volt a fõ ambícióm, hogy minél több cikket írjak. Nagyon sok dolog volt, amit nem cikk alakjában írtam meg, hanem levél formájában."

"Cikkeim egy részében nem annyira eredmények közlésére, hanem valaminek a megmagyarázásár, népszerûsítésére törekszem. Többek között ezek révén értem el, hogy Magyarországon sikerült a matematikai logikát meghonosítanom, annak ellenére, hogy a matematikusok körében nagy volt az ellenszenv vele szemben, és egy idõben Fogarasival is vitatkoznom kellett róla, aki nem tartotta a marxizmussal összeegyeztethetõ logikának. De az idõ e tekintetben is nekem adott igazat."

"[...] én a tudományban nem vagyok hûséges, nem szoktam egy téma mellett kitartani, hanem ha valami újabb, érdekesebb jön, akkor az kezd izgatni."

"Nagyon érdekes, hogy a matematikusok alkalmazzák valamennyi szakember közül legkevésbé a számológépet, pedig meg vagyok róla gyõzõdve, hogy éppen a nem numerikus alkalmazások területén nagyon sok teendõ, alkalmazási lehetõség volna. Úgy képzelem, hogy a matematikusnk van egy problémája, megoldásához pedig van néhány ötlete, ha ezeket egy alkalmas nyelven be tudná táplálni egy számítógépbe, és az kiprobálná az ötleteket, kinyomtatná a kapott részeredményeketr, ezek újabb öteleteket adhatnak a matematikusnak, aki megbírálná, hig ymeyik visz közelebb a célhoz, a többit pedig tötölné. Ennek az iterációja -interaktív bizonyítás - útján gondolom, esetleg 10 éven belül, de talán elõbb is el lehet érni azt, hogy olyan problémát is meg tud oldani egy matematikusból és egy számológépbõl álló rendszer, amivel a matematikusok kézi módszerekkel hiába próbálkoztak. De ehhez mindenekelõtt speciális, matematikusok számára készült, matematikai ötletközlõ interaktív programozási nyelvet kellene szerkeszteni és a meglévõ számológépeken megvalósítani. Az eredmény viszont számos elméleti beállítottságú matematikust meggyõzne a számítástudomány hasznáról."

"A tudomány célja a valóság megismerése, avégett, hogy a valóságot az emberiség általános jólétének megvalósítása és fokozása érdekében megváltoztassuk. E cél felé való törekvésben fontos szerepe van a matematikának: absztrakció segítségével megállapítani az anygi világ térformáinak és mennyiségi viszonyainak különbözõ körülmények között egyaránt érvényes törvényeit. A matematika az elméleti természettudományok nélkülözhetetlen eszköze; ezek nélkül pedig a kísérleti természettudós sötétben tapogatódznék, legfeljebb rutinjára bízhatná magát."

"A fordítógépek azért mûködnek lassan, mert ahelyett, hogy a fordításra célgépeket szerkesztettek volna, számológépeket kényeszerítenek fordításra. A jövõ itt a megfelelõ célgépé; természetesen az is csak nyersfordítást fog csinálni, de olyat, amellyerl kevesebb baj lesz a lektornak, mint az eleven fordítóval. Fontos kérdés a szótárból való keresés ügyes megoldása."

"[...] a mai programozási módhoz túl sok kiszolgáló személyzet kell, ezért a programozást kellene egyszerûsíteni. Ez igaz, van azonban egy másik megoldás is [...] Vannak gépek, melyek a feltételes reflexeket utánozzák, sõt a tanulást is.[...] Az ilyen kutatások folytatásaként esetleg el lehet majd érni, hogy a gp ne csak játszani tudjon valamely játékot, hanem okulni is tudjon a tapasztalataiból, ha elveszti a játszmát, azaz úgy módosítja a saját programját, hogy legközelebb ugyanilyen ellenjáték esetében ne besztítse el. Hasonlóan az is elképzelhetõ, hogy a fordítógépnek majd betápláljuk a lektorált fordíytást, hasonlítsa össze az általa készített fordítással és szíveskedjék úgy módosítani a programját, hogy olyan hibákat, amelyeket csinált többé ne kövessen el. Az ilyen gépet úgy lehetne megtanítani valamely nyelvre, mint az iskolás gyereket: egy primitív kiinduló programhoz házi feladatot kap, amelyel megoldását kijavítjuk, betápláljuk a gépnek, mire a javítja programját, újabb házi feladatot kap stb. Persze ilyen gépnek csak akkor lenne értelme, ha ezen az úton kevesebb fáradtsággal meg lehetne tanítani valamilyen nyelvre, mint a kérdéses nyelvrõl való fordításra programot készíteni.[...] Ha a fenti gép megvalósítása sikerül, annak sem lesz akadálya, hogy a gépet matematikai feladatok megoldására tanítsuk meg."

"[...] A kezdõ programozó sokféle hibát követ el. A haladó programozó tudja, hogy e hibákat nem szabad elkövetnie és elkerüli azokat. A mesterprogramozó tudja, egy-egy ilyen hiba elkövetésekot mit csinál a gép, és szándékosan elköveti, ha éppen annak a hibának a következményére van szüksége. E mondás még a gépi kódban való programozás idejébõl származik. Azóta nem azt kell néznie a mester-szintû programozónak, hogy a gép mit csinál, hanem azt, hogy a fordtóprogram hogyan mûködik adott esetben. Ha a gép diagnosztikai üzenet adása miatt mindig leáll, akkor megakadályozza a haladó programozót abban, hogy mester-szintre emelkedjék. Jobb hát, ha nem mindig áll le és korrekciós üzenetét csak a futtatás után kell ellenõrizni. Hogy mely esetben járjon el így, mely esetben jelezzen szintaktikai hibát, az attól is függ, hogy milyen felkészültségû programozóra bízzuk a munkát."

"[...] az elsõ aloritmikus programozási nyelvek azzal a célkitûzéssel jöttek létre, hogy az emberi nyelvhez a belsõ gépi kódnál közelebb álló nyelvet konstruáljunk. Az újabban keletkezett programozási nyelvek azonban mind nagyobb mértékben eltérnek nemcsak az emberi gnyelvektõl, de hovatovább már a józan emberi gondolkodástól is. Egyelõre még áthidalható ez az eltérés, hiszen az ember nagyon tagyon tanulékony, alkalmazkodásra képes. De ha így megy tovább, mind nehezebb lesz áthidalni. További teendõ tehát a programozási nyelvek fejlõdése terén: ismét közelebb hozni azokat az emberi nyelvhez."

"A kibernetika alkalmazásainak célja sohasem az, hogy az embert feleslegessé tevõ robotembert szerkesszünk, hanem az, hogy azokat a gépies feladatokat, amyelyek elvégzésére ma még agyunkat vesszük igénybe, gépekre bízzuk, s ezzel az emberi agyat felszabadítsuk oyan tevékenység végzésére, amit a táradalom és a technika adott fejlettségi foka mellett csak az alkotó emberi agy tud elvégezni."

"Ha a gyakorlati alkalmazásoktól eltekintünk, a matematika csalhatatlanságán azt kell értenünk, hogy matematikai módszerek nem vezethetnek egymásnak ellentmondó eredményekre. Ebben sokáig nem is volt okunk kételkedni. Először az infinitézimális számítás vezetett olyan módszerekre, amelyekkel, kellő elővigyázat híján, egymásnak ellentmondó eredmlnyekhez lehetett jutni. Maguk az infinizmális analízis angy megalkotói, Newton és Leibniz, az elméletnek rohamos, a quantumelmélethez hasonló fejlődése folyamán nem értek rá a kellő elővigyázat szabályait pontosan megfogalmazni; ők maguk azonban, s az analízis nagy rendezője, Euler is, intuiciójuktól vezetve, elkerültek minden ellentmondásra vezető okoskodást. Azonban az utánuk jövő másod- és harmad matematikusok gyakran követtek el hibákat az analízis fogalmainak, elsősorban a határérték akkoriban rendesen végtelen sor alakjában jelentkező fogalmának pontatlan használatával. Ezek a pontatlanságok váltották ki a sorelmélet kritikáját, ami Cauchy, majd Weierstrass kezében az egész analízis exakt megalapozásához vezetett, azáltal, hogy a végtelen kicsi és végtelen nagy pontatlan fogalmainak szerepét a végtelen sok (végtelen sorozat) fogalma vette át."

"[...] a halmazelmélet segítségével a matematika többi ágainak alapfogalmai is felépíthetők. Így pl. a természetes számokat véges halmazok számosságainak (elemeik számának) tekinthetjük; a számosságok összeadását és szorzását a megfelelő - közös elem nélküli - halmazok egyesítése, ill. a belőlük alkotott párok (két eleműredezett halmazok) összege segítségével definiálhatjuk. A negatív számokat a ermészetes számokból, a törtszámokat pedig az egész számokból alkotott párok segítségével vezethetjük be; az irracionális számokat racionális száámok bizonyos halmazaival (Dedekin-féle szeletekkel) értelmezhetjük; a komplex számoka viszont valós számokból álló pároknak tekinthetjük. De az analízis egyéb foglamai is halmazelméleti fogalmak sepciális esetei; pl. a végtelen sorozatok speciális rendezett halmazok, a függvények sepciális leképezése. Az algebra is bizonyos halmazokkal (testek, gyűrűk, csoportok) foglalkozik; a geometriai alakzatok viszont alapalakzatoknak, pl. pontoknak halmazai s maguk a tér pontjai az analízis geometriai felfogása szerint valós számokból álló háromelemű rendezett halmazok."

"Sokszor kérdezik, hogy mi okunk van egy ilyen ellentmondásnélküliség-bizonyításra. A legegyszerűbb válasz erre az, hogy ugyanaz az okunk, mint akármilyen más matematikai bizonyítás, mint például az algebra alaptétele, vagy a zárt gorbékre vonatkozó Jordan-féle tétek bizonyításának elfogadására. Ha a matematika más ágaiban nem vagyunk szkeptikusak, nincs okunk az aritmetika ellentmondásnélküliségében sem kételkednünk […]"

"[...] a mûszaki-tudományos forradalom egyik nagy vívmánya a számítógép, amely olyan fejlõdési fokot ért el, hogy 500 millió számolási mûveletetképes egy másodperc alatt elvégezni. Ugyanez a gép ábécé rendbe teszi a vele rendszertelenül közölt névjegyzéket, ha kell könyvtári katalógust vagy bibliográfiát készít és még sok mindent. Úgy tessék elképzelni a számítógépet, mint egy lemezjátszót vagy ezt a magnetofont, amelyre Önnek beszélek. A lemezjátszón is hallgathat beat-zenét és Bachot, aszerint, hogy milyen lemezt tesz fel rá. A magnón a lemeznek a szalag, a számítógépen a program felel meg. A számítógép el tud végezni bármely mûveletet, amelyet mûszaki adottságainál fogva, vagy elõzõleg beépített programokra támaszkodva megért. A számítógép épp ezért magában rejti a felhasználás rendkívül sokféle lehetõségét az ipar, a mmezõgazdaság, a szolgáltatás, a tudomny területén."

"[...] a számítógép segítségével végzett oktatás az audio-viziális tanítás újabb fokozata: minden gyerek elõtt ott lehet egy külön képernyõ, egy fényceruza meg egy írólap, amelynek révén kapcsolatot tart a számítógéppel. Válaszolhat a kapott kérdésre, kérdezhet maga is, és megkaphatja a helyes választ is tõle. Belép ily módon az oktatásba az a pedagógus, aki egyidejûleg minden gyerekkel egyénileg tud foglalkozni. [...] Megváltoztathatja a pedagógus finkcióját. Hiszen a programot a pedagógus készíti."

"A gép nem helyettesítheti a pedagógus szakértelmét, sõt elõtérbe állítja azt. A gépre nem bízunk emberi feladatot, a gép csak segédeszköze az embernek. Az orvos diagnózisát sem készítheti el a gyógyulás szolgálatába állított gép. Nincs gépi gyógyítés, sem gépi diagnosztika orvos nélkül. Gépi oktatás sincs: ellneben van - lesz - gép segítségével végzett oktatás, amelybõl soha nem hiányozhat az élõ szó varázsos ereje."

"Lényegesnek tartom a számítógép felhasználását vizsgáztatásra. [...] A vizsgáztatásban sem szabad mindent rábízni a gépre. A tanárjelölt elõadói készségét például nem mérheti le gép, azt mérje le az emberi vizsgáztató. Egyébként sem szabad kiiktatni a vizsgáztatásból a hagyományos módszereket sem most, se mtizenöt-húsz év múlva."

"Legyen valaki szakember az élet bármely területén, a jövõben meg kell ítélnie, hogy feladatai közül mit lehet, mit érdemes, mit gazdaságos átruházni a számítógépre. Ha pedig célszerû a számítógép alkalmazása, akkor minden szakember legyen alkalmas e feladat pontos megfogalmazására. Persze nem az a követelmény vele szemben, hogy matematikai nyelven fogalmazzon: használja csak a saját nyelvét. De annyira szabatosan fogalmazza meg a problémát, hogy egy informatikus-matematikus, aki otthonosan mozog az illetõ szakterületen is, elindulhasson, programot tudjon szervezni az útmutatás alapján. Ehhez pedig minden, egyetemet vagy fõiskolát végzett szakembernek sejtenie kell, mi az a számítógép, és hogy mi a program."

"A tantervek megreformálásánál - véleményem szerint - már arra is gondolni kell, hogy a számítsátechnika alapjai hovatovább az általánis mûveltség részét képezik.. Ez annyit jelent, hogy be kell iktatnunk egy számítástechnika címû tárgyat. Ezenkívül szinte minden tantárgy keretében tárgyalni kell, hogyan alkalmazható a számítógép az illetõ szakterületen. E tárgyalásnak természetesen szerves kapcsoolatban kell lennie a voltaképpeni anyaggal."

"Akadnak ugyanis sajátos rutinszerû programozó munkák, amelyekhez elegendõ a középiskolai szintû végzettség. Erre külföldön is bõven akad példa. [...] programozó szakközépiskolákra van szükség, mert különben nem fogjuk kielégíteni a tömeges igényt."

"Itt már nemcsak arról van szó, hogy a számítógép forradalmasítja a tudományt, hanem a matematika alkalmazásának általános térhódításáról valamennyi tudományágban."

"Megváltozott az egész matematikai gondolkodás, absztraktabbá és ezzel szélesebb körben alkalmazhatóbbá vált. Most már nemcsak az lényegtelen egy számtani mûvelet elvégzésénél, hogy három kecskérõl, három macskáról vagy három színes golyóról van-e szó. Lényegtelenné vált az is, hogy háromról vagy négyrõl,vagy milyen számról van szó, sõt, az sem lényeges, hogy egyáltalán számokkal végezzünk-e máveletet vagy más dolgokkal, és milyen mûveleteket végzünk velük. Csupán azt kell megjelölni, mit várunkk az illetõ mûveltektõl, és azt vizsgáljuk, hogy ennek milyen következményei lesznek... A geometriából pedig kifejlõdött a topológia, a mérés nélküli geometria. A matematika rájött, hogy amit a mennyiségekkel kapcsolatban felfedezett, az érvényes sokkal általánosabb elemekre is. Így jött létre a matematikai logika, a matematikai nyelvészet."

"Véget ért tehát az a korszak, amikor a középiskolából kilépve bárki is következmények nélkül elfelejthette, amit ebbõl a tárgyból tanult. De ha megnézzük, hogy miért felejtik el szívesen az emberek matematikai stúdiumaikat, akkor rájövünk, hogy talán azért, mert nem úgy tanították nekik, ahogy kellett volna. Tehát üdvözölni kell azokat a kísérleteket, amelyek már az alasó tagozaton úgy tanítják a matematikát, hogy alkalmas legyen a mai kor kívánta, az új helyzetektõl meg nem riad, önálló gondolkodás megalapozására, és hogy a gyerekek úgy élvezzék a matematikát, akárcsak a legérdekesebb játékot."

"Minden pedagógiai törekvés szükségképpen találkozik az információrobbanás szorongató dilemmájával, azután szemben találja magát az ismeretek gyorsabb kopásának, elévülésének közismert problémájával is. A permanens tanulás gondolata ma már szinte közhely. Kevésbé megoldott azonban, hogy miként lehetne az embereket arról meggyõzni, hogy jó tanulni. Természetes, hogy ezt az iskolában kell megkezdeni, ugyanis ha az iskola elvadít a tanulástól valakit, azt felnõtt korában is nehezen szoktathatja bárki vissza. Meg kell éreztetni az iskolában a tanulás jó ízét!"

"Óriási tartalék rejlik abban, hogy jobban mozgósítsuk a fiatalokat aktív cselekvésre, önálló ismeretszerzésre az iskolában."

"Jegyezze még fel, kérem, a matematikus figyelmeztetését: nehogy az iskolából valami módon - a természettudományok gyors fejlõdése, az ismeretek szaporodása miatt - az irodalom, a zene, a képzõmûvészet kiszoruljon. Vigyázzunk: ne szegényítsük el érzelmileg a gyerekeket!"

"Végül magunknak, matematikusoknak is csak hasznunkra lehet, ha szembenézünk a fejlődés tényével; ha pedig még didaktikai következményeit is levonjuk, a matematika oktatása ügyét csak előrevihetjük vele."

"A középiskolában többnyire szemléletes fokon maradunk […]. A felsőbb matematikai oktatásban azonban végig kell járnunk az utat a szemlélettől az elvont axiomatikáig, sőt a modellképzésig is."

"[…] minden pedagógus tisztában van, milyen lényegesen befolyásolja az első impresszió a tanítványom által rólam kialakított képet; s azzal is tisztában kell lennie, hogy nem én nevelem, hanem ez a sokszor karikatúraszerű kép; én csak annyiban gyakorolhatok befolyást tanítványomra, amennyiben viselkedésem, előadásmódom befolyásolhatja ezt a képet."

"Egy részüket maga a matematika nem érdekli, pusztán alkalmazásai miatt van rá szükségük; ezeket röviden vegyészeknek nevezem, mert nálunk Szegeden leginkább az elsőéves vegyészdoktorjelöltek alkotják ezt a csoportot. Más részüknek kenyere lesz a matematika, de különös ambíciójuk nincs; ezeket tanárjelölteknek nevezem. A harmadik, legkisebb csoportot azok alkotják, akiknek szenvedélyük a matematika; ezektől várjuk a matematikus utánpótlást; ezeket matematikusoknak mondom."

"A határérték elméletét még szemléletes fokon csinálhatjuk végig, mert a valós szám fogalmának axiomatizálása és aritmetizálása kezdőknek nehéz dolog, az előadás elején nemigen tudjuk megmagyarázni, hogy mire való. Az előadás végén visszatérhetünk erre: amikor már láttuk más példákon az axiomatizálás hasznát, felvethetjük azt a kérdést, nem axiomatizálhatnók-e hasonló módon a valós szám fogalmát is."

"A határozott integrál fogalma jó alkalom az aritmetizálásra: miután szemléletesen bebizonyítottuk, hogy a görbe alatti terület differenciálhányadosa az ordináta és megállapítottunk, hogy ehhez a terület mely szemléletes sajátságait használtuk fel, szerkesztünk olyan aritmetikai kifejezést, amely ezekkel a sajátságokkal bír."

"[…] ügyes időbeosztással úgy rendezhetjük be az előadást, hogy a heti órák egy részét mindig szemléletes tárgyalással töltjük, másik részét pedig a fogalmak szabatossá tételével, vagy, amikor erre éppen nincs alkalom, érdekes, de tisztán elméleti alkalmazásokkal; az utóbbi órákról a vegyészt elengedhetjük. A tanárjelölt megérti, milyen szemléletes tartalomból sarjadt ki az egzakt tárgyalás […]. A matematikus megtanulja, hogyan kell a fogalmakat alkotás közben szemléletesen látni és hogyan kell a szemléletesen meglátottakat egzakt formába önteni."

"[…] kis fáradtsággal mindig előadhatunk úgy, hogy őszintén megmondjuk, hogy jöttünk rá, vagy hogy jöhettünk volna rá a dolgokra s csak azután öntjük az elméletet végleges alakba […]. A tudományos szempontnak is jobban megfelel, ha a fejlődést és nem a kész axiomatikát adjuk elő; mert nem ez utóbbi fejezi ki a tudomány mai állapotát, hanem az, hogy a fejlődés útja ide vezet."

"[…] nemcsak alapos politechnikai képzést kell adnunk, hanem az embereket arról is meg kell győznünk, hogy jó, ha az újból is állandóan megtanulnak valamit."

" A laikus megelégszik a közvetlenül evidens tulajdonságok felismerésével; a matematikust az különbözteti meg tőle, hogy a bonyolultabb, közvetlenül át nem tekinthető tulajdonságoknak is a végére akar járni. Evégből igénybe veszi logikáját: arra törekszik, hogy a bonyolultabb vonatkozásokat logikailag visszavezesse közvetlenül belátható tényekre."

"[…] a logikai tevékenység rávezeti a matematikust arra, hogy a szemléletes képet pontosan fedő fogalmak logikailag nem elég kezelhetők; ezért elvonás útján logikailag egyszerűbb fogalmakat szerkeszt."

"Amint logikai úton felismerünk egy, a képről eredetileg leolvasni nem tudott tulajdonságot, visszatérünk a képhez, az újonnan felismert tulajdonsággal színezzük azt. Így egyre színesebbé, élénkebbé lesz a kép, úgy, hogy további, eddig rejtett tulajdonságokat is leolvashatunk róla."

"Úgy vélem, a legfőbb indítóok a szemlélettől való elszakadásra az, hogy az ember, a matematikus is, társas lény. Szereti másokkal is közölni azt, ami megkapja, ami élmény számára. Ekkor éri az első csalódás. Kiderül, hogy ami nekem szemléletem alapján világos, arra a másik esetleg értetlenül mered [….]. Így jövök rá, hogy szemléletem tele van szubjektív elemekkel."

"Ha társam valamely alapfogalmamat nem látja közvetlenül érthetőnek, megpróbálom logikailag visszavezetni számára is világos, még egyszerűbb fogalomra, ha valamely axiómámat nem fogadja el evidensnek, megpróbálom logikailag visszavezetni számára is evidens igazságokra. Ha ez nem sikerül, le kell mondanom arról, hogy meggondolásomat vele megértessem."

"Az axiómák kiválasztásában, de bizonyítás közben is a magam szemléletes képei vezetnek (társamat pedig a magáéi); tulajdonképpen mindketten szemléletesen gondolkodunk, de a közös kiindulóponttal: az axiómarendszerrel és a közös úttal: a logikával biztosítjuk azt, hogy párhuzamosan haladjunk, ugyanoda jussunk. Ezért a fejlődésnek ezt az állomását szemléletes axiomatikának nevezhetjük."

"Az axiomatikus módszer kapcsán rájövünk arra, hogy hasonló tárgyú tételek bizonyításához többnyire ugyanazok az axiómák kellenek, ettől fogva azokat a tételeket foglaljuk össze egy-egy rendszerré (pl. elemi mértanná, aritmetikává, analízissé), amelyeket közös axiómák segítségével bizonyítunk be."

"Ha egy általános fogalomnak axiomatikusan bebizonyított tulajdonságát akarjuk speciális esetre alkalmazni [….], nem feltétlenül szükséges belátnunk, hogy a speciális eset alája tartozik az esetleg még csak homályosan elhatárolt általános fogalomnak […], csak azt, hogy rendelkezik-e az általános fogalomnak a bizonyításában felhasznált axiómákban kifejezett tulajdonságaival."

"Az axiómarendszer hasonló szerepet játszik, mint a sakkjáték kiindulóhelyzete […]. Pontos megfogalmazásuk könnyebben megy, ha nem is szavakkal, hanem jelekkel pótoljuk az alapfogalmakat, miáltal az axiómák és a tételek képletekké válnak; ehhez csak az szükséges, hogy a matematika általánosan használt jelei mellé még néhány jelet vezessünk be, különösen a logikai vonatkozások számára."

"Ha sikerül egy már felépített rendszer fogalmai segítségével olyan fogalmakat szerkesztenünk, amelyek egy második rendszer alapfogalmai helyébe téve annak axiómáit teljesítik, akkor megtakaríthatjuk e második rendszer alapfogalmait és axiómáit."

"Analógia alapján való általánosítás a modellképzés fokán még könnyebben lehetséges, mint az elvont axiomatika fokán; nem az axiómarendszert, hanem magát a modellt általánosítjuk."

"Nincs az az akármilyen elvont dolgokkal foglalkozó matematikus, aki kutatása közben először ne szemléletesen, heurisztikusan gondolkodna; utólag aztán axiómatikus formába önti eredményeit s ezzel elleplezi, hogyan jött rájuk."

"A ki nem mondott axiómákkal való axiomatizálás még nehezebben érthető, mint a bevallott axiomatizálás."

"A bizonyítás nem érvényes, nem ér semmit, ha akár a felhasznált, állítólagos tények valamelyike nem tény, akár az alkalmazott logikai következtetési módok valamelyike helytelen."

"Minden bizonyítás felhasznál már ismert tényeket."

"Honnan tudjuk, hogy a logika szabályai mindig érvényesek? Nos, ezt is a tapasztalatból tudjuk. Az emberiség hosszú gondolkodási tapasztalta rejlik a logika mögött."

"A fénysugár elhajlása pl. a gravitációs térben pusztán abból megmagyarázható, hogy gravitációs tér szerkezete más. Ez azt jelenti, hogy a Nap közelében nincs is egyenes, ott minden görbe. […] A Nap gravitációs tere által elgörbített térben egyáltalán nincs egyenes. Nos ezek nagyon nehezen elképzelhető dolgok. Nem is a képzelete segíti a matematikust, hanem az, hogy van logikája, hogy van axiomatikus módszere, tudja hogy egy ilyen térben milyen axiómák érvényesek és azokból következtet."

"Ha be akarunk hatolni az anyag mélységeibe, akkor egy darabig a szemléletünk jó kísérő, de amikor azután fölmondja a szolgálatot, elő kell szedni egy másik jó kísérőt, a logikánkat, amellyel megállapíthatjuk, hogy jól következtettünk-e az adott axiómákból."

"A matematikai logika kimutatta, hogy van egy általános eljárás, amellyel minden olyan következtetési módról, amiben csupa egyalanyos predikátumok vannak, meg lehet állapítani, hogy helyes-e, vagy nem. Vannak azonban többalanyos predikátumok is."

"[…] a matematikai logika kiderítette: nemcsak hogy nem lehet megadni egy könyvet, amelyben az összes érvényes következtetési módok benne lennének, de nincs is általános eljárás annak eldöntésére, hogy melyek a helyes következtetési módok."

"Zénón olyanokat mondott, hogy a mozgás lehetetlen. A mozgás ugyanis azt jelentené, hogy véges időn belül végtelen sok ponton kéne áthaladni. Ez pedig abszurdum – mondja Zénón –, mert véges idő alatt nem lehet végtelen sok ponton áthaladni.[…] Azt hiszem azonban, hogy Zénón lebecsülése volna, ha azt hinnénk, hogy komolyan tagadta a mozgás lehetőségét. Csupán azt akarta bebizonyítani, hogy a korabeli matematikusok által használt gondolkodásmód a mozgás megragadására, ilyen abszurdumokhoz vezet. Tehát a gondolkodásmódot kritizálta."

"Russel nevéhez a következő antinómia fűződik: ha akármilyen dolgokat lehet halmaz-elemeknek tekinteni, akkor azok lehetnek halmazok is. […] Tekintsük akkor az összes lehetséges dolgok halmazát. Bármik lehetnek az elemei, azok is, amik halmazok és azok is, amik nem halmazok. Vegyük most már az összes halmazok halmazát. Ez olyan halmaz, ami saját elemei között előfordul, mivel ő maga is halmaz, és minthogy az összes halmazokat tartalmazza, ezért neki magának is szerepelnie kell saját elemei között. Nevezzük ezután rendesnek az olyan halmazokat, amelyek saját elemeik között nem szerepelnek, és rendkívülinek azokat, amelyek szerepelnek. És most vegyük az összes rendes halmazok halmazát. Ez milyen lesz, rendes, vagy rendkívüli? […] Mondjuk pl., hogy rendes, akkor (minthogy ő az összes rendes halmazok halmaza) definíció szerint ő mint rendes halmaz előfordul saját elemei között, ám akkor nem lehet rendes. Ha viszont rendkívüli, akkor előfordul saját elemei között, ami persze nem lehet, mert ő csak a rendes halmazokat tartalmazza."

"[…] aki több méretű geometriával foglalkozik, lassankint látni kezd a több méretű térben is, azaz ott is könnyedén áttekinti a mértani vonatkozásokat."

"A formális axiómatikára még fokozottabb mértékben áll az, hogy csak elvben van meg; valóságban a maga kedvéért űzni puszta játék volna, nem matematika."

"A matematika már régóta mintaképe a többi tudománynak egzaktság tekintetében […], amennyiben szeretnék elérni az egzaktságnak ugyanazt a fokát, mint amit a matematika elért. Néhány tudományágnak, legalábbis megközelítőleg, sikerült is. Ezeket egzakt természettudományok néven szokták emlegetni. Rendszerint a fizikát, a kémiát, a csillagászatot, és […] a geodéziát, a geofizikát, az asztrofizikát szokták ideérteni. […] Nos, hogyan sikerült az említett természettudományoknak az egzaktságnak ezt a magas fokát elérniük? Éppen a matematika módszereinek alkalmazásával a maguk szakterületén"

"a számszerűségre törekvés, a kvantifikálás nem elengedhetetlen feltétele a matematikai módszerek alkalmazásának. Valójában a matematika sohasem volt kizárólag mennyiségtan. (A »mennyiségtan« szakkifejezés valami rossz fordítás eredményeként, esetleg olyan embernek az agyában született meg, aki a matematikának csak a mennyiségekkel foglalkozó részeit ismerte.)"

"Engels megállapítja, hogy a »tiszta matematika« tárgyát az anyagi világ térformái és mennyiségi viszonyai alkotják. Nos, a térformák, mint mindenféle forma általában nem mennyiségek, hanem a minőség kategóriájának lényeges elemeit is magukba foglalják. De a mennyiségi viszonyok sem azonosak a mennyiségekkel. Egy viszony, reláció szempontjából […] az a fontos, hogy fennáll-e, vagy nem, nem pedig, hogy milyen mértékben"

"Ha […] a nyelvészet már alkalmazza a matematikát, akkor vajmi kevésség tekinthető utópiának az, hogy a biológia, a fiziológia, a patológia, általában az orvostudomány, vagy valamely más tudományág egzakt tudománnyá fejlődjék azáltal, hogy matematikai módszereket alkalmaz, hogy a matematikus gondolkodásmódját a maga területére adaptálja."

"A matematika egzaktsága nem annak köszönhető, hogy a matematikus állítólag a valóságos világtól elfordulva, absztrakt fogalmakkal foglalkozik. Az említett nézetből csak annyi igaz, hogy a matematika valóban alkalmazza az absztrakció módszerét, sőt az is igaz, hogy más szaktudományoknál fokozottabb mértékben."

"azért alkalmazhatók a matematika absztrakt fogalmai a valóságra, azért lehet egyáltalán a matematikát alkalmazni, mert fogalmait a valóságból absztrahálta."

"vajon mi az oka a matematika egzaktságának? […] Durván szólva [az], hogy bizonyítás nélkül nem fogad el semmit."

"azért olyan egzakt a matematika, mert nem akar egzaktabb lenni, mint amennyire lehet, mert bevallja, ha valamit nem sikerül elérnie."

"a matematikai modellalkotás csírái […] az irracionális számok, az összemérhetetlen mennyiségek felfedezésére vezethetők vissza."

"Kiterjedés nélküli pontokkal azért foglalkozik a geometria, mert azokkal sokkal egyszerűbb dolgozni. A kiterjedés nélküli pontnak sokkal egyszerűbb tulajdonságai vannak, mint pl. a kiterjedéssel bíró kis krétapöttyöknek, amiket a táblára rajzolunk pont helyett."

"Attól lesz egzaktabb a matematika, hogy mindig készek vagyunk akár az axiómákat is változtatni, ha erre szükség van."

"Amikor […] az axiómarendszereket módosítjuk, nem megnyirbáljuk, hanem gazdagítjuk a matematikát."

"A halmazelmélet különbséget tesz a végtelennek úgyszólván a különböző fokozatai között. Pontosan definiálja: mikor mondjuk, hogy két halmaznak ugyanannyi eleme van és mikor mondjuk, hogy különböző az elemek száma, abban az esetben is, ha az elemek száma végtelen."

"A kontinuum-problémát szokás abban az alakjában is megfogalmazni, hogy igaza volt-e Cantornak, amikor azt sejtette, hogy a természetes számok halmaza után nagyság szerint közvetlenül a kontinuum következik. Ebben a formában Cantor-féle sejtésnek nevezik."

"A tapasztalat tudniillik az, hogy a matematikai problémák előbb-utóbb megoldódnak."

"[…] a matematika általában a következőképp fejlődik: valaki felvet egy problémát; ha könnyű, akkor maga megoldja, s esetleg nem is publikálja probléma formájában. Ha ő maga nem tudja megoldani, akkor úgy látszik, nehéz és érdemes probléma formájában publikálni, közölve a szubjektív véleményét: úgy sejtem, hogy a kérdésre ez vagy az a válasz. Ezt a véleményt sejtésnek nevezik és azután megpróbálják a matematikusok megoldani, ami nagyon sok esetben sikerül."

"A problémák általában előreviszik a matematikát, lényeges elemei a matematika fejlődésének."

"A kör négyszögesítése nem azt jelenti, amit a köznapi életben értenek rajta, hogy rajzolunk egy olyan kört, ami négyzet, vagy egy olyan négyzetet, ami kör. […] Nos, tehát a kör kvadratúrája a következőt jelenti: ha adva van egy kör sugara, meg kell adni egy olyan szerkesztési módot, amellyel az adott sugarú körrel egyenlő területű négyzetet lehet szerkeszteni […] az euklideszi szerkesztési módok alkalmazásával; semmiféle más szerkesztési mód nincs megengedve."

"Az is előfordulhat, hogy egy matematikai probléma megoldása abban áll, hogy bebizonyítjuk: úgy, ahogy felvetették, nincs megoldása."

"[…] lehet, hogy egy matematikai probléma olyan értelemben megoldatlan, hogy megoldhatatlan, vagyis be lehet bizonyítani: úgy, ahogy felvetettük, nincs is megoldása. Előfordulhat, hogy ha korlátozzuk a megoldáshoz felhasználható eszközöket, akkor azokkal a korlátozott eszközökkel egyáltalán meg sem lehet oldani."

"Direkt, közvetlen a bizonyítás, ha közvetlenül bebizonyítom egy állítás igazságát. Indirekt a bizonyítás, ha az állításról azt bizonyítom, hogy nem lehet nem igaz."

"Ha elő van írva, hogy milyen segédeszközt szabad alkalmazni, ez azt jelenti, hogy megkötjük a kezünket."

"a végtelen problémájával számos más probléma (például a megközelítés, a folytonosság, a számfogalom stb.) is szorosan összekapcsolódik."

"az egyiptomiak az egész számok mellett már jól ismerték a törtszámokat. Nagyon érdekes, hogy nem a mi számjelölésünket használták. Tízes számrendszerről náluk egyáltalán szó sem volt; a számrendszer fogalma mint olyan, a babilóniai kultúrában merült fel először. A közönséges törteket sem számlálóval és nevezővel nevezték meg. Amit mi -nak mondunk, azt az egyiptomi úgy fejezte ki, hogy egy fél meg egy harmad. Sokkal szemléletesebb és elképzelhetőbb volt számára, hogy mi lesz akkor, ha egy fél almához még hozzáteszünk egy harmad almát. Nem is gondolt arra, hogy ez öt darab olyan részből áll, amelyből hat tesz ki egy egészet."

"Ami a babilóniakat (sic!) illeti, […] a számrendszer fogalma először náluk merült fel. [… A]zonban nem tízes, hanem hatvanas számrendszert használtak, pontosabban – a mai számítástechnika terminológiáját használva – decimálisan kódolt hatvanas számrendszert. Tehát olyan hatvanas számrendszerről van szó, ahol az egyes számjegyeket már a tízes számrendszerben írhatjuk. Ez annyit jelentett, hogy a váltószám náluk nem 10 volt, nem 10 egység adott egy magasabb egységet, hanem 60. (Ennek nyomai még ma is megtalálhatók a szögmérésben és az időszámításban. […]) […] A törteket […] hatvanados tört alakjában írták fel."

"A görögök vetették fel először a következő elméleti jellegű kérdést: melyek a pontosan érvényes számításmódok és melyek a közelítőleg érvényesek? […] Természetesen bizonyos absztrakciós képességet is megkívánt az a felismerés, hogy az abszolút pontos számítási módot a közelítő számítási módtól meg kell különböztetni. Mert ha csupán a gyakorlati tapasztalat lett volna az egyetlen forrása az említett felismerésnek, akkor csak arra jöhettek volna rá, hogy az egyik számításmód pontosabb, mint a másik, de mindkettőt egyformán közelítő jellegűnek tekintették volna."

"Az ókori görögök elkezdték bebizonyítani a matematikai tételeket, éppen amiatt, mert bizonyosak akartak lenni abban, hogy a kérdéses tétel abszolút pontosan érvényes-e."

"egy számot nemcsak egy egyenlet határozhat meg, hanem egyenlőtlenségek is, feltéve, hogy végtelen sokan vannak. Megjegyzendő, hogy végtelen sok egyenlőtlenségpár nem minden esetben határoz meg egyértelműen egy számot. Eudoxosz […] megmutatta egy olyan feltétel teljesülését, amely már elegendő volt a meghatározás egyértelműségéhez. Ez döntő és nagyon termékeny felismerés volt, hiszen ezen alapult az arányok elmélete. [… M]elyik az a szám, amelyik nagyobb minden negatív számnál, de kisebb minden pozitív számnál? Mindenki azonnal tudni fogja, hogy a 0. és valóban a 0 az egyetlen olyan szám, amely az említett végtelen sok egyenlőtlenségpárnak eleget tesz. Ez magától értetődik, ám aki először felismerte, hogy egy számot úgy is meg lehet határozni, hogy egyenlőtlenségeket állítunk fel rá, persze végtelen sokat, az valami nagy felfedezést tett."

"Eukleidész [… e]gyik eredményét ma úgy mondjuk el, hogy végtelen sok prímszám van. […] – Eukleidész másképp fogalmazott; kerülte a végtelen szakkifejezést. ám éppen ezzel jutott el kifejezéseiben is a matematikai precízségnek egészen meglepő fokára. Az előbb említett tételt úgy mondta ki, hogy akárhány előre megadott prímszámnál van több prímszám. Tehát akárhány prímszámot ad meg valaki, lehet olyat találni, amelyik nincs köztük.[…] Tehát Eukleidész nem kérdez ilyeneket, hogy végtelen sok prímszám van-e, ha több van, mint akármennyi, vagy végtelen kicsi-e a kör és érintője közti szög, ha bármely akármilyen kicsi előre megadott egyenesvonalú szögnél kisebb. Ilyen kérdéseket ő fel sem vet, a végtelen kifejezést kerüli. Bármit is akar mondani, enélkül a kifejezés nélkül is pontosan ki tudja fejezni, és állítását be is tudja bizonyítani. Úgy szokták mondani, hogy Eukleidésznél már határozottan megjelenik az horror infiniti, azaz fél a végtelentől, ami különben jellemző a görögök gondolkodására."

"a végtelen kicsi és a végtelen nagy fogalma fölöslegessé vált, helyette a végtelen sok szerepelt, és vált jelentőssé."

"A halmazelmélet […] pontosan tudja definiálni, hogy két végtelen halmaznak mikor van ugyanannyi, vagy mikor van az egyiknek több, a másiknak pedig kevesebb eleme. […] Képzeljük el, hogy egy kisgyerek, aki mondjuk csak tízig tud számolni, kinéz az ablakon, amely előtt egy huszárcsapat vonul e. a katonák lovakon ülnek. A kisgyermek, anélkül, hogy meg tudná őket számolni, képes megállapítani, hgoy katona van több vagy ló, azon az alapon, hogy minden lovon egy katona ül és egy katona sem ül meg két lovat. Körülbelül így állott Cantor is, amikor végtelen halmazokat kellettt összehasonlítania. az előbb elvet általánosítva kimondta, hogy két végtelen halmazról (vagy általában két halmazról) akkor mondjuk, hogy ugyanannyi elemük van, ha az egyik halmaz minden eleméhez hozzá lehet rendelni a másiknak egy és csakis egy elemét; tehát egyik elemhez se rendelünk hozzá kettőt és egyiket se rendeljük hozzá kettőhöz."

"[…] valószínűnek tartom, hogy a további fejlődés […] megint nagyobb szerepet biztosít majd a szemléletnek; erre vall többek között a szemléletes okoskodás szerepe a bizonyításelméletben is, valamint a matematika ún. intuicionisztikus felépítése, amely az aritmetikai szemléleten alapul."

"A dialektikus materializmus a valóság, a világ megismerhetőségén azt érti, hogy […] nincsenek örökké megismerhetetlenül maradó kérdések. Mindig maradnak viszont olyan kérdések, amelyeket a tudásunk adott fokán még nem tudunk megoldani, amelyeknek a megoldása tudásunknak további fejlődését kívánja meg. És éppen ez a tudomány fejlődésének legfontosabb mozgatórugója."

"Sohasem leszünk-e arra képesek, hogy mesterségesen létrehozzunk gondolkozó anyagot, azaz emberi agyvelőt? Erre a kérdésre a választ a jövőre kell bíznunk, hiszen ez idő szerint még az élő anyag mesterséges előállításától is messze vagyunk. De elvileg nem zárhatjuk ki annak lehetőségét, hogy miután az anyag emberi agyvelő organizációjának magas fokáig fejlődött, az alkotó emberi agyvelő talán maga is ugyanarra a magaslatra segíthet fejlődésben kevésbé fejlett anyagot. […] Ha azonban mesterségesen élő, vagy pláne gondolkodó anyagot hozunk létre, azt már nem gépnek fogják nevezni, mivel a gép fogalma mindenesetre az anyag alacsonyabb mozgásformáihoz van kötve."

"Van-e megadható határ szabva annak, hogy a gondolkozó agyvelő funkcióját géppel utánozzuk, ha már lehetetlen, hogy gondolkodó gépet állítsunk elő? Logikai hiba lenne erre a kérdésre pozitív választ adni azon az alapon, hogy a gondolkodó agyvelő dialektikus jellegére hivatkozunk, amelynek a funkciója merev géppel nyilvánvalóan csak egy bizonyos határig utánozható. Hanem a gép fogalmát dialektikusan kell felfogni, mivel nemcsak az agy, hanem a technika is alá van vetve a fejlődésnek."

"Ha sikerül nekünk, hogy elsősorban a mechanikus, automatikus gondolkodó munkát gépekkel végeztessük el, akkor kevesebbet kell dolgoznunk, s ezt a tartalékot a szocialista társadalmi rendben arra fogjuk fordítani, hogy a munkaidőt megrövidítsük."

"A világ megismerésének igényét nem fogjuk feladni, s a matematikus sem azt a reményt, hogy minden felmerülő problémát megoldjon."

"Absztrakció nélkül lehetetlen volna általános megállapításokat tenni."

"A betegség fogalma – absztrakt fogalom. A valóságban nincsenek betegségek, a valóságban patológiás állapotban levő szervezetek vannak, és minden ilyen szervezet más és más. Minden beteg egy-egy individuum; nem hasonlítanak teljes mértékben egymásra. És az orvosnak mégis osztályoznia kell a betegeket […]. Éppen ilyen úton tudja az orvos meghatározni, hogy milyen terápiával lehet a beteg szervezetet meggyógyítani, visszavezérelni fiziológiás állapotába. A gyógyítás szabályainak megállapításához szükség van a betegség fogalmára, tehát szükség van absztrakcióra."

"az absztrakció nem irreverzibilis folyamat, nem olyan fogalmakhoz jutunk általa, amelyeknek semmi közük a valósághoz. Ellenkezőleg: minden konkrét alkalmazás esetében rekonkretizálni kell az absztrakt fogalmakat, tehát megfelelő konkrét fogalmakkal pótolni. Nem az absztrakt fogalmakat alkalmazzuk, azok csak arra szolgálnak, hogy általános törvényszerűségeket állapítsunk meg segítségükkel, hanem a belőlük rekonkretizálással kapott konkrét fogalmakat."

"Nem azért absztrahálunk, hogy a valóságnak hátat fordítva tetszésünk szerinti fogalmakhoz jussunk"

"nem a valóságtól elrugaszkodott absztrakcióról van szó. Olyan fogalmakat alkotunk, amelyekkel könnyebb dolgozni, és bár ezek nincsenek meg ilyen tisztaságban a valóságban, de megközelítik azt. Közelítőleg megvannak. Közelítőleg ugyanis van kiterjedés nélküli pont; minden kis tárgy közelítőleg kiterjedés nélküli pontnak tekinthető. […] Az absztrakt pont fogalma tehát nem arra szolgál, hogy véglegesnek tekintsük, hanem, ha kell, csináljunk bonyolultabb, a valóságot jobban megközelítő olyan modellt, amelynek konstruálásához már felhasználtuk ezt az egyszerű modellt."

"matematikai vagy […] műszaki modellek segítségével sok jelenséget modellel próbálhatunk ki. Újabban éppen a kibernetika eredményei folytán esetenként kísérleti állat helyett elektronikus modellt használhatunk, amely nem exitál, könnyen feltámasztható."

"A tudásnak egy adott állapotában […] valahol meg kell állnunk a regresszióban: tehát ki kell indulnunk olyan fogalmakból, amelyekről mindenki számára evidens, hogy mit jelentenek, amiket tehát előzőleg nem definiálunk."

"Eukleidész még azt mondta: pont az, aminek nincs része. Ma már azt mondjuk, hogy ez nevetséges, hogy ez nem definíciója a pontnak. A pont egy alapfogalom, amit nem definiálunk, hanem a pont, az egyenes és még néhány ilyen alapfogalom segítségével definiáljuk azután a többi fogalmakat."

"az, amit [a matematikus] az axiómarendszerben bebizonyított, érvényes marad, akármit is értsünk az alapfogalmakon, csak olyasmit kell értenünk, amire az axiómák igazak. Tehát, ah a tapasztalat során kiderül, hogy azokra a fogalmakra, amelyeket előzőleg, eredetileg értettünk az alapfogalmakon, valamelyik axióma nem érvényes, azért nem kell az axiómarendszert elejteni, mert hátha vannak az alapfogalmak helyett más fogalmak, amelyekre ugyanaz az axióma érvényes és ezzel a bebizonyított tények is érvényesek."

"[…] igenis vannak megoldhatatlan problémák, de csak addig, amíg szükséges segédeszközökhöz nem nyúlunk, vagy mert még nincsenek kidolgozva, vagy mert eleve elzárkózunk tőle. Ahhoz, hogy megoldjunk matematikai problémákat, eszközeinket állandóan tökéletesíteni kell. Azt hiszem, ez is általános ismeretelméleti következmény és érvényes minden más tudományra is. A tudományos kutatásban nem szabad semmiféle megkötöttséget tűrni."

"Diophantosz pontosan megoldotta a feladatot: általában meghatározta az összes olyan lehetséges derékszögű háromszöget, amelynek mind a három oldala egész számú többszöröse egy bizonyos hosszegységként választott távolságnak. Pontosabban fogalmazva, adott egy képletet, amelynek segítségével az összes ilyen derékszögű háromszöget meg lehet határozni."

"Lindemann német matematikus, aki a kör négyszögesítésének problémáját oldotta meg véglegesen, sikerén felbátorodva egész további életét azzal töltötte, hogy megpróbálta Fermat tételét is bebizonyítani, Neki sem sikerült. És senkinek sem sikerült annak ellenére, hogy igen hatékony módszerekkel próbálkoztak. Persze haszna is volt a Fermat-probléma vizsgálatának, mert közben új módszereket hoztak létre."

"Cantor azonban bebizonyította, hogy vannak olyan halmazok, amelyeknek több elemük van, mint amennyi természetes szám. Ilyen például az összes valós számok halmaza."

"Lindemann […] tulajdonképpen azt a tételt bizonyította be, hogy a π transzcendens szám. Mi az a transzcendens szám? Nem olyasmi, amit a filozófiában egyes filozófusok szoktak a transzcendens jelzővel jelölni, hanem egyszerűen olyan szám, amely túllép az ún. algebrai számok körén."

"Érdekes, hogy Gaussnak […] sikerült adott sugarú körbe körző és vonalzó alkalmazásával szabályos tizenhétszöget szerkeszteni. Annak örömére, hogy a szabályos tizenhétszög szerkesztésének évezredes problémáját megoldotta, Göttingenben szabályos tizenhétszög alakú talpazaton áll a szobra. Gauss egyébként azt is be tudta bizonyítani, hogy szabályos hét- vagy kilencszöget nem is lehet körzővel és vonalzóval megszerkeszteni."

"[…] amikor Lindemann bebizonyította, hogy a π nem tesz eleget egyetlen algebrai egyenletnek sem, akkor világossá vált, hogy a kör négyszögesítése megoldhatatlan."

"A megoldatlan problémáknak a másodikkal rokon típusát fogom említeni. Ez a párhuzamosok problémája, amely számunkra különösen nevezetes, mert Bolyai János oldotta meg, mégpedig negatív értelemben."

"A párhuzamosok problémája így szólt: a párhuzamosok axiómáját mint tételt be kellene bizonyítani Eukleidész többi axiómája segítségével. […] Bolyai Farkas is annyi időt töltött el vele hiába, hogy amikor észrevette, hogy fiát is kezdi foglalkoztatni, óva intette, mondván: az olyan probléma, amellyel nem érdemes foglalkozni, az ember csak feleslegesen rávesztegeti az energiáját és mégsem jut eredményre."

"Bolyai János […] egy kicsit kételkedett is a párhuzamosok axiómájának az igazságában. […] olyannyira nem bízott ebben az axiómában, hogy el tudott képzelni egy olyan világot, amelyben a párhuzamossági axióma nem igaz, majd megpróbálta átgondolni, hogy milyen is lehet egy olyan sík, vagy olyan tér, ahol nem igaz a párhuzamosok axiómája."

"Bolyai és Lobacsevszkij közös felfedezése éppen az, hogy a kérdés rosszul van feltéve. Arra a kérdésre ugyanis, hogy hogyan lehet bebizonyítani a párhuzamosok axiómáját Eukleidész többi axiómája segítségével, a válasz így szól: sehogy. Mert az a többitől független."

"Arkhimédész foglalkozott a kör területének kiszámításával. […] Ugyancsak ismerte a parabolaszelet területét. […] Mai kifejezéssel élve azt mondhatjuk, hogy Arkhimédész már integrálni is tudott, mert az ilyen területet manapság integrálszámítással számítjuk ki."

"bármely halmaznál van nagyobb halmaz és ezen az úton feltárult a végtelenen túlinak, a transzfinitnek az egész skálája Cantor előtt. Hasonlattal élve nemcsak olyan végtelenről van itt szó, mint amilyen egy végtelenbe vesző lépcső, hanem olyanról, ahol a lépcsőn túl megint kezdődik egy lépcső és az is végtelenbe vész, és azon túl megint kezdődik egy lépcső és az is végtelenbe vész, sőt ezeknek a lépcsőknek a sora, amely maga is egy lépcsőt alkot, az is a végtelenbe vész és utána még mindig van valami. Feltárult egy, a véges számokénál sokkal változatosabb birodalma a vételen számoknak, a transzfinit számoknak."

"Korábban a halmazelméleti okoskodásokban a halmazt valami zsákfélének képzelték, amibe bele vannak töltve az elemei, és ez a képzet vezette a bizonyításokat. Ma viszont pontosan megfogalmazzuk, hogy mik azok a bizonyítás nélkül elfogadott tények a halmazokról, amiknek a logikai következményei a halmazelméleti tételek. Ezeket azután igyekszünk olyan formában megfogalmazni, hogy antinómiák ne jöjjenek létre, de a halmazelméletnek azokat a tételeit, amelyek áthatják az egész matematikát, be lehessen bizonyítani."

"az ellentmondás nem valami ijesztő dolog, hanem a fejlődés rugója, még akkor is, ha […] nem dialektikus, hanem abszolút ellentmondásokról van szó. Ekkor ugyanis azt mutatják meg, hogy valami nem volt rendben, nem volt elég egzakt a múltban, hogy tehát egzaktabbul kell a jövőben csinálni."

"Az embernek éppen úgy kötelessége a végtelen vizsgálata, mint a végesé, hiszen meggyőződésünk szerint a világ is végtelen, és ha a világot, ezt a térben, időben és mélységeiben végtelen világot akarjuk megismerni, akkor a végtelent kell megismernünk. Ennélfogva nem adhatjuk fel azt a lehetőséget, hogy a végtelent megismerjük, akkor sem, ha ez a megismerés, mint különben minden megismerés, látszólag rögös, ellentmondásos utakon vezet."

"az igazság mindig konkrét. Ez azt jelenti, hogy minden egyes adott esetben minden olyan körülmény is megvan, amitől addig eltekintettünk. Minden igazság konkrét és mégis absztrakcióra lehet szükség általános igazságok megfogalmazásához. (p. 72.) 2.elejtettük az egyszer s mindenkorra szóló abszolút pontosság elérhetetlen ideálját, s megelégszünk helyette egy másik, matematikai szempontból fejlettebb, dialektikusabb fogalommal, a tetszőleges pontossággal való megközelítés fogalmával."

"elejtettük az egyszer s mindenkorra szóló abszolút pontosság elérhetetlen ideálját, s megelégszünk helyette egy másik, matematikai szempontból fejlettebb, dialektikusabb fogalommal, a tetszőleges pontossággal való megközelítés fogalmával."

"Mint Arisztotelész rámutatott: a geometriai okoskodásban is érvényes a végtelen regresszus lehetetlenségének elve. E szerint nem lehetséges, hogy mindent bebizonyítsunk; valamit már az első bizonyításban is tényként kell felhasználnunk. Tehát itt sem akarunk egzaktabbak lenni, mint amilyenek lehetünk. […] Így jött létre az axiomatikus módszer, s alkalmazásával a matematika sokkal egzaktabbá vált, mint amilyen előtte volt."

"Miben áll az evidencia? […] Az evidencia mögött hosszú tapasztalat rejlik. Minden axióma az emberiség hosszas tapasztalatának leszűrt formája."

"A tudomány […] úgy fejlődik, hogy minden olyan esetben, amikor kiderül, hogy nem olyan egzakt, mint amennyire eddig hitte magát, ezt mint tényt, hajlandó tudomásul venni. A tudomány tehát hajlandó lemondani arról, hogy egzaktabbnak tekintse vagy képzelje magát, mint amilyen. És ez nyitja meg az útját annak, valóban egzaktabbá váljon, nem mint amilyennek előzőleg képzelte magát, hanem mint amilyen de facto volt. Azt hiszem, hogy ha ezt az ismeretelméleti következtetést levonjuk és azt tekintjük tudós erénynek, hogy bármikor hajlandó módosítani az ember a maga tudását, a maga axiómáit, a maga egzaktság iránti igényét is […], akkor valami ismeretelméleti módot tanultunk meg a matematikától, amit mindenféle tudomány esetében hasznosan alkalmazhatunk."

"[…] meg kell egymás nyelvét tanulnunk, hogy egymásnak segíthessünk, meg kell tanulniok a filozófusoknak a matematika nyelvét és a matematikusoknak a filozófia nyelvét."

"A gép esetében a műszakinak az optimális megoldást tudatos célra irányuló igyekezetében konstruktíve kell megtalálnia: az élő szervezetnél az optimális megoldás a filogenezis által jön létre, ott ugyanis az optimálistól nagyon eltérő esetek a létért való harcban elpusztulnak: a társadalomban pedig az optimális megoldás természetesen csak az osztályharc útján valósul meg. Mindez azt a törvényszerűséget is tartalmazza, hogy az optimalizációra irányuló törekvés csak a biológiai mozgásformában spontán, eközben természetesen nem teológiai princípiumokról van szó."

"[…] felmerül az a kérdés, állíthatjuk-e, hogy a gépek tudnak gondolkozni, mint ezt nyugaton gyakran mondották. Azon a véleményen vagyok, hogy nem. Ezt éppen olyan kevéssé tehetjük, mint ahogy azt sem mondhatjuk, hogy a gépek élnek."

"A világ megismerhetősége ugyanis azt jelenti, hogy a megismerési folyamatban szerzett relatív igazságok mind pontosabban közelednek az objektív valóságban fellelhető abszolút helyzethez, ahhoz, ami objektíve a valóságban tényleg van. Mégpedig tetszőleges pontossággal. Ehhez nem kell, hogy körzővel és vonalzóval szerkesszem meg akár a köbgyök kettőt, akár a π-t. Elegendő egy olyan eljárást találnom, amivel, ha akarom, száz, ha akarom, ezer tizedesnyi pontossággal kiszámítom a π-t. Ilyen pedig van."

"Az igazi materializmus abban áll, hogy nem akarjuk a magunk szemléletét a valóságra rákényszeríteni."

"A világ megismeréséhez minden lehetséges helyes segédeszközt igénybe szabad vennünk."

"[…] a dialektikus materialista meggyőződés erősíti meg hitünket, hogy igenis minden problémát meg tudunk oldani és nemcsak a matematikában. Ez az, ami a tudósnak erőt ad, nem engedi csüggedni száz kudarc után sem; megpróbál egy százegyedik módszert problémája megoldására."

"A számokat Platón […] mint a tökéletes ideák egyik példáját említi. A pont, a vonal, a felület stb. mind mint ideák kaptak polgárjogot ebben a filozófiában, s ez kétségtelenül a pozitív oldal. Ellenkező esetben ugyanis, ha ti. meg kellett volna várni azt, hogy előbb az absztrakció fogalmával legyünk tisztában, leállt volna a matematika fejlődése. Sőt tovább mehetünk. Ahhoz, hogy filozófiailag tisztában legyünk az absztrakcióval, előbb a matematika további fejlődésére volt szükség. Tehát valamilyen ideiglenes megoldás kellett és ebből a szempontból a platoni (sic!) idealizmus pozitív szerepet játszott."

"A korai kapitalizmus előtt a feudalizmus volt az uralkodó társadalmi forma, amelynek ideológiája, legalábbis Európában, a katolikus egyház teológiája volt. A […] filozófia […] maga is a teológia szolgálóleányává vált. […] A teológia, amely végeredményben nem bizonyított állítások, hanem önkényes dogmák gyűjteménye volt, a maga tekintélyével és hatalmával ránehezedett az összes tudományokra. A szabad gondolkodásért máglyahalál járt, a gondolkodást gúzsba kötötték. Ebben egyébként felhasználták a logikát rendszerbe foglaló Arisztotelész tekintélyét is, jóllehet a középkorban megengedett logika csak névleg volt Arisztotelész logikája. Arisztotelész ti. nem képzelte logikáját zártnak, olyannak, amihez semmit nem lehet hozzátenni. Az egyház viszont tiltott minden olyan elképzelést, amely nem volt kodifikálva a logika tankönyveiben. Ugyanakkor a végtelen fogalmával gátlás nélkül pongyolán dobálóztak. A végtelen ugyanis istennek egyik attribútumaként szerepelt, s minthogy a teológia minden felelősség nélkül kijelentéseket tett istenről, többek között ugyanezt tette a végtelenséggel, mint isten egyik attribútumával kapcsolatban is."

"Természetesen nem lehet azt mondani, hogy a teológia hatása mindenen nyomot hagyott, de ahol hatott, ott az egzaktság ellen hatott. Voltak azonban gondolkodók, akik ennek ellenére tartották magukat a matematikai egzaktsághoz. Közülük Napiert említhetem, a logaritmusok felfedezőjét[…]."

"Leibniz nagyon is meg volt elégedve a matematikának ezzel az egzaktságot nélkülöző állapotával, – szinte élvezte, hiszen saját filozófiájának az igazolását látta benne (ti. azt a felfogását, hogy egy terület végtelen sok olyan vonal összege, amelyek mindegyikének a területe 0, vagy ahogyan ő mondta, végtelen kicsi, mégsem 0, párhuzamba állította azzal, hogy az egyes monászok is végtelen kicsik, együtt mégis a végtelen nagy világot alkotják)"

"A kibernetikát dogmatikus ál-marxista körök kezdetben tudvalevőleg kedvezőtlenül fogadták és ez fékezte ennek a tudománynak a fejlődését, a Szovjetunióban és a népi demokratikus országokban is."

"A kibernetika először is anyagi rendszerek szervezésének, valamint e rendszereken belül az információnak, különösen vezérlés és szabályozás céljára történő feldolgozásának olyan általános törvényszerűségeivel foglalkozik, amelyek az anyag specifikus mozgásformáitól függetlenül érvényesülnek. […] Másodszor […] a kibernetika ezeknek a törvényszerűségeknek az alapján annak a lehetőségével is foglalkozik, hogy az anyag magasabb mozgásformáit azok megadott, körülhatárolt funkcióira vonatkozóan alacsonyabbakkal utánozza és megpróbálja e lehetőségek határait is meghatározni."

"[…] komplikált rendszereket, legyenek azok akár élő szervezetek, akár szabályozó automaták, csak úgy lehet berendezni, hogy azoknak központi irányító szervük, úgyszólván központi idegrendszerük legyen és az információk bizonyos bementekről, amelyek az érzékszerveknek felelnek meg, ebbe a központi részbe fussanak be, ahol feldolgozódnak, hogy aztán onnan mint irányító utasítások a végrehajtó szervekhez kerüljenek. Úgy látszik ez általános törvényszerűség és ezért talán jogosan állítható, hogy a kibernetikának nemcsak kvantitatív, hanem kvalitatív törvényszerűségei is vannak."

"[…] az anyag minden mozgásformájánál elsősorban a megfelelő specifikus mozgástörvények érvényesülnek, de bizonyos értelemben ezen túl az általános kibernetikai törvények is. Természetesen annak a módját, hogy hogyan érvényesülnek az utóbbiak, lényegesen befolyásolják, sőt meg is szabják a specifikus mozgástörvények."

"A kibernetikai kutatás megmutatta, hogy lehetséges az élő anyag sokkal komplikáltabb funkcióit is automatikus berendezésekkel utánozni."

"A meg nem értett matematika alkalmazásaihoz számítom a túlhaladott matematika alkalmazásait is. A matematika sem az a mindig egyforma, sziklaszilárd épület, mint amilyennek lefestik azok, akik csak a gimnázium algebraóráinak drukkjából ismerik. Fejlődő, nagyon is rohamosan fejlődő tudomány az. Fejlődése pedig nem úgy történik, mint Pallasz Athénéé, aki állítólag készen, felnőttként, sőt felfegyverkezve ugrott ki Zeusz agyából, hanem úgy, mint minden fejlődés a világon Eleinte bizony csak homályosan látott, inkább csak sejtett fogalmak és tények tűnnek fel egy-egy zseniális matematikus agyában. Persze legtöbbször van ideje rá, hogy várjon a publikációval, amíg a homály kitisztul; de épp a legzseniálisabb felfedezések annyira újak, hogy egy-két emberöltőig is eltart, mire világossá válik, hogy miről is van szó. Így aztán kénytelen a matematikus homályos meglátásait is közölni a világgal, ha nem akarja, hogy eltemetődjenek. Épp a differenciál- és integrálszámítás volt így; csak egy-két évszázaddal Newton és Leibniz után derült ki, miről is van benne szó."

"Mi a középiskolában nem tanultunk integrálszámítást, amit differenciálszámításból tanultunk, azt elfelejtettem. Azt kell mondjam, hála Istennek. Csak zavarja az embert, amit ködösen tanítottak neki; s a középiskolában, legalábbis a differenciál- és integrálszámítást, így szokták. Majd rá fogsz jönni, hogy még sok mindent jó lenne elfelejteni, amit a középiskolában tanultál, hiszen csak félrevezetés volt."

"Az egész, amit el szeretnék érni, csak annyi, hogy mégis sejtsem, mit jelent az a szép nagy S betű. Nos, ezen az alapon elindulhatunk."

"… az a művelet, amit azokkal az elhúzott nagy S betűkkel jelölnek a matematikusok, meg azok, akik akár komoly okkal, akár csak nagyképűségből matematikául beszélnek, semmi más, mint területszámítás."

"… ha le tudod vetni azt az iskolában rádragadt előítéletet, hogy a matematika kis, egymással össze nem függő vagy csak laza összefüggésben levő példákból áll, akkor bele tudsz abba is törődni, hogy a matematikai probléma, hogy hogyan lehet kiszámítani a területét akármilyen idomnak. Ezzel a kérdéssel foglalkozik az integrálszámítás…"

"… Ha történetesen természettudós az ember, akkor közelítő értékekkel számol ugyan, de ott kísért a középiskolai pirosceruzás pontosság-fogalom a lelkiismeretében: rossz lelkiismerettel számol közelítő értékekkel…"

"… magának a területszámításnak csak kevés köze van a kémiához. Hogy mégis annyi integráljel szerepel a kémiakönyvekben, az azt mutatja, hogy ha nem is egyenesen területszámításra van szükség a kémiában, de szükség van sokszor arra a számolási eljárásra, aminek a segítségével a területszámítást is elvégezhetjük…."

"… A matematikus nemcsak számok számára használ betűket szimbólum gyanánt (amik helyébe aztán minden konkrét probléma esetén behelyettesítjük az abban a problémában szereplő számadatokat), hanem másfajta matematikai dolgok számára is. Pl. a geometriában a pontokat, vonalakat, síkokat is szokás betűkkel jelölni. Ugyanígy egye-egy függési módot (egy-egy azt-hogy-hogyan-függ) – szakkifejezéssel: egy-egy függvényt – is egy-egy betűvel szokás szimbolizálni. Mindenféle betűt lehet erre a célra használni, de leggyakrabban a kis vagy nagy f, g, h betűket szokták. Jelentse tehát f azt a függvényt, amely megmondja, hogyan függ a kiszámítandó területet határoló görbe vonal pontjainak ordinátája abszcisszájuktól. Ha annak az embernek, aki vállalkozik rá, hogy ha én megadom az x abszcissza értékét, ő megadja a hozzá tartozó ordinátát, azt mondom, hogy legyen x = a, akkor ő megmondja a hozzá tartozó y-t, azt meg f(a)-val szokás jelölni; azt az ordinátát pedig, amit akkor ad meg, ha én x-et úgy adom meg, hogy b legyen, f(b)-vel, általában f(x)-szel az abszcissza x értékéhez tartozó ordinátát jelöljük. De csak akkor, ha azt, hogy y az x-től függ, f-fel jelöltem; ha pl. g-vel jelölöm, akkor g(a) az x = a értékhez tartozó y jele, hasonlóan g(b) ill. g(x) az abszcissza b, ill. x értékéhez tartozó ordináta jele, vagy ahogy mondani szokás, a g függvény értéke a b ill. x helyen. Tehát a két szélső ordináta: f(a) és f(b). Az az eset, amikor az idomot csak három, ill. csak két vonal határolja, (egy görbe és két ill. egy egyenes), amilyen idom, … ez úgy tekinthető, mint amikor f(a) = 0 (vagy f(b) = 0), ill. amikor f(a) is, f(b) is 0. Ha már a jelöléseknél tartunk, vezessünk be még egy jelölést. Magát a kiszámítandó területet így szokás jelölni: . Elég buta jelölés, arról majd még beszélünk, hogy is alakult ki (azért majd, mert ez azzal a számítási móddal függ össze, ahogyan ezt a területet ki fogjuk számítani); annyi előnye azonban van, hogy minden szükséges dolog rajta van a jelölésen…."

"… Nos, hátcsak különbözik a matematikus a természettudóstól valamiben. Először is abban, hogy a matematikus sohasem mond olyasmit, hogy a keresett terület körülbelül 13,5 ha, mert tudja, hogy ennek (vagy hogy közelítőleg 13,5 ha) magában nincs értelme. Hanem vagy azt mondja, hogy 13 ha és 15 ha közé esik, vagy azt, hogy közelítőleg 13,5 ha, akár felfelé, akár lefelé legfeljebb 2,5 ha hibával (ez utóbbi pontosan ugyanannyit jelent), esetleg azt, hogy közelítőleg 12 ha a terület, a hiba biztosan pozitív (azaz biztosan hozzá kell 13 ha-hoz valamit adni, hogy a pontos területet megkapjuk); de legfeljebb 3 ha; esetleg azt mondja, hogy közelítőleg ha a terület, a hiba negatív (azaz le kell valamit vonni 15 ha-ból, hogy megkapjuk, mennyivel egyenlő a terület), de abszolút értéke legfeljebb 3 ha; még esetleg azt is mondhatja, hogy közelítőleg 13 ha a terület, a hiba pedig – 1 ha és +2 ha közé esik. Persze nem hibáztatom a természettudóst azért, hogy nem mondja meg, milyen határok közé esik a hiba; az, hogy a terület körülbelül 13 ha, azt jelenti, hogy legfeljebb olyan hibával, amit ilyen körülmények, ilyenfajta mérés esetén meg szoktak engedni. Mindenkinek joga van rövidebben fejezni ki magát, ha a másik ember, akihez beszél, úgy is megérti, úgy is tudja, mi az, amit elhallgatott. De nem ez a fő különbség a matematikus és a természettudós felfogása és magatartása között a területszámítással (vagy más közelítő számítással) kapcsolatban. Hanem, s ez a döntő pontja az egész matematikának: a természettudós megvárja, míg megadják neki a hibahatárt (a mérnök is ezt teszi persze, neki a munkaadója adja meg, milyen pontosságot kíván, azaz mekkora hibát enged meg a területszámításban) s aztán, annak tudatában számítja ki a területet ilyen pontossággal (azaz zárja a területet olyan két határ közé, amelyek egymástól csak annyira térnek el, mint a hibahatár, vagy még kevesebbel); a matematikus ezzel szemben nem vár semmit, hanem kidolgoz egy számolási eljárást, amelynek segítségével, mihelyt megadja a másik ember a hibahatárt, be lehet zárni a területet két olyan szám közé, amelyeknek a különbsége kisebb vagy ugyanakkora, mint az a hibahatár. Nem csodálatos, hogy a matematikus ilyesmit is tud; hiszen mibe sem kerül neki, hogy betűvel jelöli a még ismeretlen hibahatárt (görög ε-nal, vagy δ-val szokta jelölni) és úgy számol vele, ahogy betűvel számolni szokott, s a végén nem két számot kap, amik közé a terület esik, hanem két függvényt, amelyekbe – mihelyt megadja valaki a hibahatárt – csak be kell azt helyettesíteni ε helyébe, s megkapjuk azt a két értéket, amik közrefogják a keresett területet, s különbségük kisebb, mint az a megadott hibahatár."

"… tehát így megy: először is felbontjuk az idomot görbevonalú trapézokra. Mindegyik görbevonalú trapézt felparcellázzuk és kiszámítjuk az alsó és felső összegeket. A parcellázást addig folytatjuk, míg a felső és alsó összeg eltérése kisebb nem lesz, mint a megadott hibahatár. Akkor akár az alsó összeg, akár a felső összeg, akár bármilyen közöttük levő szám tekinthető a terület közelítő értékének, mert eltérése a területtől, felfelé vagy lefelé kisebb a hibahatárnál."

"Azok a szabályok is, amelyeket Leibniz és főleg epigonjai a végtelen kis mennyiségekkel való számolás címén megállapítottak, agyrémek. Maga Leibniz kortársa: Newton és egy-két nagyon zseniális követője csodálatos intuíciójuk által vezettetve csupa igaz eredményt állapítottak meg velük; de epigonjaik egymás után hozták ki a legnagyobb sületlenségeket is, míg végül is lassankint kiderült, hogy végtelen kicsi mennyiségekkel számolva mindent be lehet bizonyítani, azt is, hogy 2×2 = 5; ezért aztán lassankint szilárdabb alapokra helyezték a felső matematikát, így jutottak a határérték és a vele kapcsolatos fogalmak elméletéhez. Az analízis alapjainak kritikája a francia Cauchy és főleg a német Weierstrass nevéhez fűződik, de még sok más nagy matematikus tevékenykedett benne. Nehogy azt hidd, hogy a vételen létezését tagadja a mai matematika; végtelen sok dolog van (ha az új fizika szerint, amely véges köbtartalmú világról s benne véges számú atomról beszél, a természetben nem is, de) a fogalmak világában biztosan; pl. végtelen sok szám van (már az egész számok is végtelen sokan vannak, hát még a törtek, az irracionális számok); csak végtelen kicsinyek, végtelenedrészek nincsenek. (Tizedrész és tizedik egy tőből származnak egy -ed raggal; hasonlóan a decimus = tizedik és pars decima = tized is). A tizedrészt ma is úgy képzeli el a szemléletesen gondolkodó magyar ember, hogy tíz egyenlő rész közül (az első kilenc nem, de) a tizedik. Tizedén aratni nem azt teszi, hogy absztraktan megszámláljuk, hány kévét aratott le a részesarató s papíron elosztjuk tízzel, ami kijön, annyi kévét kap a munkadíj fejében, hanem azt, hogy minden tizedik kéve az övé, a többi kilenc a föld gazdájáé. Ezredén arattatni szörnyű kizsákmányolás lenne, de még mindig van értelme: minden ezredik az aratóé csak; de végtelenedjén aratni, annak nincs értelme: örökké csak arasson, majd a végtelenedik lesz az övé, magyarul azt jelentené; n esze semmi, fogd meg jól. Ezt jelenti hát a végtelened (infinitesimus, a centesimus, millesimus mintájára), a végtelen kicsi is."

"… Nagyon könnyen megeshetik, hogy valóságban a két görbe vonal közötti sávban húzódó harmadik görbe vonal hossza akár ezerszer akkora, mint a sáv határaié vagy egy közöttük húzódó, hozzájuk nagyjából hasonló harmadik görbe vonalé, csak elég kanyargós legyen (34. ábra). (Egy vicclapban olvastam egyszer, hogy a férj részegen tért haza éjfél után a kocsmából s azzal védekezik felesége előtt, hogy már tíz órakor elindult haza. Ne hazudj – mondja az asszony –, nem olyan hosszú az út a kocsmából haza! Nem hosszú – ukk – válaszolja a férj –, de - ukk – széles! A vicclapban rajz mutatja a hullámvonalat, amin a férj hazajött.) Ha a görbe által határolt idom területéről van szó, akkor jogos az elhanyagolás. Nem azt kívánom a fizikusoktól, hogy maguk vizsgálják meg, mikor jogos, ebben nyugodtan hivatkozhatnak a matematikusokra: de azt megkívánhatom, hogy olyankor ne hivatkozzanak a matematikára, amikor nem jogos és minden esetre használjanak olyan értelmes terminológiát, amiből a matematikus meg tudja állapítani, jogos-e, ne pedig uraságoktól levetett ködös terminológiát, amiből senki sem ért semmit, matematikusok legkevésbé, de gyanítom, fizikusok sem. […] Eddig egyetlen egy problémára alkalmaztuk az integrálszámítást, a területszámításra. Megígértem azonban, hogy annak a számításmódnak, ahogy a görbevonalú területeket kiszámítottuk, lesznek fizikai, kémiai alkalmazásai is. Magát a számításmódot már megfogalmaztuk általánosan: egy (a,b) intervallumot felosztunk részintervallumokra, mindegyikben választunk egy pontot, vesszük ott egy f függvény értékét, szorozzuk a részintervallum hosszával, az így nyert szorzatokat összegezzük; ha ezt mindenféle beosztással megcsináljuk, akkor biztosan lesz az így nyert összegek között olyan, amely a kiszámítandó integrált az előírt hibahatáron belül megközelíti, akárhogyan is írják elő a hibahatárt – minden elég sűrű beosztáshoz tartozó összeg olyan lesz."

"Kísérletileg megállapítottuk, hogy gyorsuló mozgás, a sebessége mindig nagyobb és nagyobb lesz; sőt azt is, hogy egyenletesen gyorsuló mozgás, azaz a sebessége mindig ugyanannyival lesz nagyobb, ha ugyanakkora idő telik el közben. Elejtéskor indul a test, 0 a sebessége; 1 másodperc múlva a tapasztalat szerint 981 cm/sec. Akkor minden egyes másodpercben 981 cm/sec-mal nő a sebessége, tehát elejtéstől 2 másodperc múlva 2×981 cm/sec, röviden 2g lesz a sebessége, ahol , 3 másodperc múlva 3g stb.; de az is biztos, hogy minden fél másodpercben -vel nő a sebessége (mert minden fél másodpercben ugyanannyival kell nőjön, s az első fél másodpercben meg a második fél másodpercben együttvéve g-vel nő, tehát külön-külön -vel nő), így 2 másodperccel az elejtés után 2g, 3másodperccel az elejtés után lesz a sebessége. Ugyanígy látható, hogy másodperc alatt g-vel nő a sebessége, tehát 2/3 másodperc alatt , 1 másodperc alatt 1g, másodperc alatt 1 lesz a sebessége (az elejtéstől számítva); szóval általában t idő alatt tg vagy gt lesz a sebessége. Kérdés, mekkora utat tesz meg az elejtett test t idő alatt? Látszólag önnyű feladat, út = sebesség szorozva idővel. Mégis hibás volna azt mondani, hogy az út, mert csak a t idő elteltével lesz gt a sebessége, előbb lassabban mozgott, tehát kevesebb utat tesz meg, mint ha egész idő alatt gt sebességgel mozgott volna."

"… pl. a reakció folytán keletkező anyag koncentrációját kell két határ közé zárni, az egyik úgy adódik, hogy egy-egy részidőtartam alatt végig a minimális reakciósebességgel, a másik meg úgy, hogy végig a maximális reakciósebességgel pótoljuk a valóságban változó reakciósebességet. Nos, ilyesmikkel kapcsolatban szerepelnek integráljelek a kémiában (no meg nagyképűség okáért, meg a meg nem értett dolgok alkalmazásaként is.)"

"Mindenekelőtt; az integrálszámítás természetesen foglalkozik azzal a kérdéssel is, hogyan lehet kényelmesebben, kevesebb számítással kiszámítani a területet, ill. integrált, azazhogy hogyan lehet gyorsabban megközelíteni (ami azt jelenti, hogyan lehet úgy megközelíteni, hogy gyorsabban az előírt hibahatár alá süllyedjen a határok közötti eltérés). Eddig téglalapok közé zártuk a görbe vonalú parcellákat, mert azt biztosan lehet, biztosan van kisebb, meg nagyobb téglalap is. De nyilvánvaló, hogy jobban megközelítem a parcella területét, ha nem az x-tengellyel párhuzamosan vágom le, hanem ferdén, a görbevonal húrjával (36. ábra). Ekkor a parcellát egyenes vonalú trapézzel pótolom, s annak is ki lehet számítani a területét. Ennek az a hátránya, hogy néha kisebbet, néha nagyobbat ad, mint a kiszámítandó terület (ha az út felől nézve konkáv a görbe vonal, akkor mindig kisebbet, ha konvex, akkor mindig nagyobbat), de közelítő értéknek jobb, mint a téglalapok területeinek összege. Még jobb közelítő értékeket kapunk, ha húr helyett valami megfelelő görbe vonalakkal pótoljuk a Tiszát, mindenesetre olyanokkal, amelyeket már könnyen tudunk integrálni. Az ilyenfajta megközelítésmódokkal az ún. mechanikus kvadratúra elmélete foglalkozik (mechanikus itt azt jelenti, hogy gyakorlati, quadratura = négyzetesítés = területszámítás, mert területet számítani annyit jelent, mint egységnégyzetekkel kimérni.) Aztán, bár lenéztük az egyenlet szerint folydogáló patak fikcióját, mégsem olyan felesleges dolog megtanulni képlettel felírható függvényeket gyorsan integrálni. Hiszen a mechanikus kvadratúrával kapcsolatban kellettek volna olyan görbe vonalú idomok, amiknek területét könnyebben ki tudjuk számítani, mint általában, s ugyan hol kereshetnők máshol ezeket a kivételes függvényeket, mint a képlettel felírhatók között. Ezekkel aztán, ill. ilyenek íveivel igyekszünk megközelíteni másféle függvényeket is. … A képlettel megadható függvények is ritkák, de mégis elég sűrűk ahhoz, hogy másféle függvényeket is megközelíthessünk velük. (Minden természettörvény egy nem képlettel megadott függvény megközelítése képlettel megadott függvénnyel.) Nos, a képlettel megadott függvények integrálásának megvan a maga számolástechnikája, akárcsak a gyökvonásnak; annyival mindenesetre nehezebb, hogy nem minden képlettel felírható függvény integrálját lehet képlettel felírni. Megtanulni sok időt vesz igénybe, főleg, ha az ember az egyes szabályok okát is akarja látni. Csak röviden közlöm, bizonyítás nélkül, hogy az a számolástechnika az integrálás és a differenciálás közötti következő összefüggésen alapul: ha az f(x) függvényt akarom integrálni a-tól b-ig, és találok olyan F függvényt, amelynek differenciálhányadosa éppen f, akkor az integrált így számíthatom ki: ."

"Ha két integráljelet látsz egymás mellett, az azt jelenti, hogy nem az egyenes egy (a,b) számköze mentén kell integrálni, hanem a sík egy területe mentén, s ez azt jelenti, a területet kell részekre osztani, azok lesznek d1,d2,…,dn, s mindegyiket, egy kétváltozós függvény értékeivel a kérdéses részterületen, ill. maximumával s minimumával szorozni, a szorzatokat pedig ismét összegezni, így kapjuk meg az integrált megközelítő, ill. közrefogó ∑, S és s összegeket. Jelentése az ilyen integrálnak már nem terület, hanem köbtartalom. Háromszoros integrál esetén viszont köbtartalmakat szorzunk függvényértékekkel, ill maximummal, minimummal. Az ilyennek már nincs egyszerű geometriai jelentése."

"Én mindig pedagógusnak éreztem magamat, annak ellenére, hogy középiskolában, a gyakorló év kivételével, nem tanítottam, mert mindjárt az egyetemre kerültem tanársegédnek. Mindig azt tartottam, hogy az egyetemen az a feladatom, hogy nehéz kérdéseket könnyűvé tegyek a tanítványaim részére."

"Én arra igyekeztem mindig, hogy ne csak a tehetségesek értsék meg az anyagot. Amíg még elég kevés hallgatónk volt, volt arra mód, hogy egyénileg intenzívebben foglalkozzon az ember mindegyikkel."

"Amikor valakit matematikára tanítok, már áll a precízség valamilyen, esetleg nagyon alacsony fokán; magasabbra nem úgy jut, hogy én dogmatikusan magasabb fokra állok és lemarházom, ha ő kevésbé precíz, hanem úgy, ha meggyőzőm arról, hogy érdemes feljebb jönnie. Persze mindezt csak akkor érdemes, ha van benne igény rá; egy cseppet sem baj, ha nincs, akkor maradunk ott, ahol voltunk."

"Kis fáradsággal mindig eloadhatunk úgy, hogy oszintén megmondjuk, hogy jöttünk rá, vagy, hogy jöhettünk volna rá a dolgokra, és csak azután öntjük az elméletet végleges alakba. Nem baj, sot jó, ha tanítványaink végül is úgy érzik, nem is olyan nagy dolog ez, magam is rájöhettem volna."

" egy születő új tudományágat képviselek. A születő újnak mindig meg kell harcolni a maga harcát a konzervativizmus ellen, és aki ilyen tudományágat képvisel, mint akár a matematikai logika, akár a kibernetika, vagy a számítástudomány, annak bizony sokakkal és sok helyütt kell vitatkoznia. Saját magának is részt kell ebben a harcban vennie. Ez a harcom akkor kezdődött, amikor egyáltalán elkezdtem matematikai logikával foglalkozni. … Folytatódott ez akkor, amikor a kibernetikai kutatásokat elkezdtem,…,Ugyanúgy harc volt az, amikor megvalósítottuk a programtervező matematikusok képzését Szegeden,…, Megmondom őszintén, hogy üresjáratú értekezleteken nem szívesen veszek részt, de ha harcolni kell valamilyen igaz, jó ügyért, akkor arra mindig kell, hogy találjak időt, és kell, hogy legyen energiám."

"Talán furcsán hangzik néhány gazdasági bizottsági és kormányhatározat után, de pillanatnyilag még az a helyzet, hogy a matematikusoknak csak aránylag kis része tudja, hogy mi az a számítástudomány, de ők is lenézik. Azt szokták mondani, természetesen matematika az is, de triviális matematika. Egy jó matematikus egy hét alatt megtanulja, mondják, ha van hozzá kedve. Ez azonban, mint a tapasztalat megmutatta, nem áll."

"…megjártam a matematikai egzaktság magasiskoláját s látom, hogy az egzaktságnak nincs határa, nincs olyan precíz módon megfogalmazott definíció, vagy tétel, amibe még precízebb álláspontról bele ne lehetne kötni, mégpedig nemcsak szőrszálhasogatásból és kákáncsomókeresésből, hanem alapos okkal (mert a precízebb álláspont el nem fogadása effektív hibákhoz, hamis eredményekhez vezethet); éppen ezért nem tudom többé statikus-dogmatikusan felfogni a matematikai precízséget: aki ezen innen van, nem precíz, aki túl, az precíz. Ezzel együtt elejtettem persze a matematikának, mint »abszolút igaz tudománynak« a képzetét. Nem írom, hogy kénytelen voltam elejteni, mert az a meggyőződésem, hogy épp az a szép a matematikában, hogy magán viseli az emberi alkotás minden bizonytalanságát. Félre ne érts: létezik számomra is precízség, de nem statikus, hanem dinamikus értelemben: mint precízségre törekvés."

"A számítógépek további fejlődése oda fog vezetni, hogy egyrészt mindenki olcsón vásárolhat zsebbe férő kis számítógépet, másrészt a számítás, általánosabban az információfeldolgozás éppoly közszolgáltatás lesz, mint ma a telefon: mindenki feltárcsázhatja a központi nagy számítógépet, betárcsázhatja neki a feladatot és esetleg emberi hangon megkapja tőle a megoldást, esetleg képernyőn jelenik meg neki. A mai multiprogramozásos rendszerek nem is állnak ettől nagyon messze, a századfordulóra valószínűleg nem lesz már utópia."

"Nagyon érdekes, hogy a matematikusok alkalmazzák valamennyi szakember közül legkevésbé a számológépeket, pedig meg vagyok róla győződve, hogy éppen a nem numerikus alkalmazások területén nagyon sok teendő, alkalmazási lehetőség volna. Úgy képzelem, hogy a matematikusnak van egy problémája, megoldásához pedig van néhány ötlete, ha ezeket egy alkalmas nyelven be tudná táplálni egy számológépbe, és az kipróbálná az ötleteket, kinyomtatná a kapott részleteredményeket, ezek újabb ötleteket adhatnak a matematikusnak, aki megbírálná, hogy melyik visz közelebb a célhoz, a többit pedig törölné. Ennek az iterációja – interaktív bizonyítás – útján gondolom, esetleg 10 éven belül, de talán előbb is el lehet érni azt, hogy olyan problémát is meg tud oldani egy matematikusból és egy számológépből álló rendszer, amivel a matematikusok kézi módszerekkel hiába próbálkoztak. De ehhez mindenekelőtt speciális, matematikusok számára készült, matematikai ötletközlő interaktív programozási nyelvet kellene szerkeszteni és a meglevő számológépeken megvalósítani. Az eredmény viszont számos elméleti beállítottságú matematikust meggyőzne a számítástudomány hasznáról."

"Azt is meg kell mondanom, hogy én a tudományban nem vagyok hűséges, nem szoktam egy téma mellett kitartani, hanem ha valami újabb, érdekesebb jön, akkor az kezd izgatni. Mint mondtam, kezdett izgatni, hogy mire használják a matematikai logikát, és ez lassanként odáig fajult, hogy ma már a számítástudományt vallom saját tudományterületemnek, főleg a programozási nyelvek elméletét. A matematikai nyelvészettel is csak egy ideig foglalkoztam, fölvázoltam a problémákat a nyelvészeknek, akiknek foglalkozniuk kellene vele és továbbléptem. A programozási nyelvekkel viszont nagyon sok teendő van még, és általában a számítástudomány terén. Ennek a tudománynak is el kell ismertetnie a maga polgárjogát."

"Ha a matematikát dialektikusan, vagyis fejlődésében nézzük, akkor világos, hogy a Gödel-tétel nem jelenti azt, hogy a matematikai megismerésnek abszolút határa volna. Viszont fejlődésének egy-egy adott stádiumában meg kell fogalmazni a módszereit, le kell szögeznünk, milyen alapfogalmak és milyen axiómák szolgálnak egy-egy fejezetének alapjául. Az így körülhatárolt tudásnak van határa. …a világ megismerhetősége nem azt jelenti, hogy előbb-utóbb mindentudók leszünk, és akkor megismertük a világot, hanem arról van szó, hogy az emberiség gondolkodásának és megismerésének végtelen fejlődésében nem marad semmi sem »örök titok«."