Eredő ellenállás, helyettesítő kapcsolások

Egy ellenállásokat tartalmazó, két kivezetéssel rendelkező áramkör vagy áramkörrész helyettesíthető egyetlen ellenállással, amit eredő ellenállásnak vagy ekvivalens ellenállásnak nevezünk. Az egyszerűbb számolások segítésére több ellenállásból álló áramköri részt gyakran ekvivalensnek tekintünk kevesebb vagy kedvezőbb módon elrendezett ellenállások hálózatával.

Ellenállások soros eredője

• Két ellenállás sorosan van kapcsolva, ha csak egy kivezetésük van összekötve, és ebből a csomópontból nincs elágazás. Ez egyszerűnek tűnik, de kevésbé gyakorlottabbakat megzavarhat egy szokatlanabb elrendezés, így érdemes ezt gondosan ellenőrizni.
• Sorba kapcsolt ellenállások helyettesíthetők egy ellenállással, melynek értéke az egyes ellenállások értékeinek összege.

Ellenállások párhuzamos eredője

• Két ellenállás párhuzamosan van kapcsolva, ha mindkét kivezetésük össze van kötve.
• Párhuzamosan kapcsolt ellenállások helyettesíthetők egy ellenállással, mely értékének reciproka az egyes ellenállások reciprok értékeinek összege.
• Két ellenállás esetén célszerű az eredőt az R₁⋅R₂/(R₁+R₂) képlettel számítani.
• A párhuzamos eredő rövid leírására a R₁×R₂ jelölés is használatos.

Csillag-delta vagy más néven T-Π átalakítás

Az alábbi hárompólusú részhálózatok ekvivalensek, ami alapján a számítások szempontjából kedvezőbbel helyettesíthetjük a másikat.

A két kapcsolás csak akkor lehet ekvivalens, ha bármely két pont között mért ellenállás megegyezik, ahogy az alábbi táblázat mutatja:

Eredő ellenállás	A Π/Δ kapcsolás esetén	a T/csillag kapcsolás esetén
Az A és B pontok között	Rc×(Ra+Rb)	R1+R2
Az A és C pontok között	Rb×(Ra+Rc)	R1+R3
A B és C pontok között	Ra×(Rb+Rc)	R2+R3

Ennek alapján számíthatjuk ki az egyik elrendezés ellenállásainak ismeretében a másikhoz szükséges értékeket. A következők összefüggéseket kapjuk:

A másik irányban:

Jobban látható lehet a két áramköri elrendezés közötti különbség és hasonlóság az alábbi ábrákon:

A következő példánál nincs sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt ellenálláspár.

Ezen segíthetünk helyettesítéssel. Az R₂, R₃ és R₅ ellenállásokból álló delta kapcsolást kiválthatjuk egy csillag kapcsolással. Ekkor kapunk sorosan és párhuzamosan összevonható ellenállásokat:

Az R₁, R₂ és R₃ ellenállásokból álló csillag kapcsolást is kiválthatjuk egy delta kapcsolással:

Ellenállásmátrix-módszer

• Bonyolultabb esetekben célszerűbb és biztonságosabb az univerzális hálózatszámtási módszereket alkalmazni eredő ellenállás kiszámítására
• A hurokáramok módszere ellenállásmátrix formalizmussal különösen alkalmas erre.
• A módszer könnyen algoritmizálható.
• Jó alternatívája lehet a csillag-delta átalakításnak is, ami eleve elég bonyolult egyenleteket ad, számos lépést igényel, a helyettesítés is problémás lehet.

A fentebbi áramkörhöz például az alábbi megoldás tartozhat:

Az egyenletek egyszerűen felírhatók:

Az eredő ellenállást V_G/i₃ adja meg. Láthatjuk, hogy ez lényegesen egyszerűbb megoldásra vezet, mint a sok lépést és bonyolultabb számításokat igénylő csillag-delta átalakítás.

Thevenin-tétel

Egy generátorokat és ellenállásokat tartalmazó, két kivezetéssel rendelkező áramkör vagy áramkörrész helyettesíthető egy feszültséggenerátorral és egy vele sorba kötött ellenállással.

A két áramkörnek minden esetben azonos módon kell viselkednie, így különböző esetekre felírt egyenletekből megkaphatjuk a helyettesítő áramkör két alkatrészének értékeit. A kimenetet szabadon hagyva (üresjárat) kapjuk az egyik egyenletet, a kivezetéseket összekötve (rövidzár) pedig a másikat.

Valóságos áramkör esetén méréssel is meghatározhatjuk a helyettesítő áramköri komponensek paramétereit. A rövidzárás nem feltétlen megengedhető, így helyette olyan ismert nagyságú terhelést alkalmazhatunk, ami az áramkorlát betartását biztosítja.

Példa - feszültségosztó

Az üresjárati feszültség az R₂ ellenálláson eső feszültség, illetve a jobb oldali áramkörnél V_th:

A kimenet rövidre zárásakor az R₂ ellenállással kötünk párhuzamosan vezetéket, így az áram a két áramkör esetén:

A két egyenletből R_th értéke kiszámítható:

Ezt kiszámíthatjuk úgy is, hogy a V_G generátort rövidzárral helyettesítjük, majd vesszük az így kapott passzív áramkör eredő ellenállását.

Példa - kettős feszültségosztó

Az üresjárati feszültség meghatározásakor az alábbi áramkört vesszük:

Alkalmazzuk a Thevenin-tételt először az első feszültségosztó részre, azaz helyettesítsük a generátort és az R₁ és R₂ ellenállásokat tartalmazó részt egy generátorral és egy vele sorba kötött ellenállással:

A következő értékeket kapjuk:

Így már egyszerű kiszámítani a kimeneti feszültséget, ami tehát a keresett feszültségértéke a Thevenin-féle helyettesítő generátornak:

Végül:

R_th meghatározásához kiszámíthatjuk a rövidzárási áramot:

Ehhez újra felhasználhatjuk az első osztó Thevenin-ekvivalensét. Jóval egyszerűbb és kevesebb hibalehetőséget rejt, ha inkább eredő ellenállást számítunk ki arra az esetre, amikor V_G-t rövidzárral helyettesítjük:

Könnyen látható, hogy

• R₁ és R₂ helyettesíthető párhuzamos eredőjükkel, R₁×R₂-vel
• Ez az eredő sorba van kötve R₃-mal: R₃+R₁×R₂
• Ez utóbbi pedig párhuzamosan van kötve az R₄ ellenállással.

Végül tehát:

Kifejtve:

Ez a kettős feszültségosztóra kapott eredmény jól megmutatja a Thevenin-tétel jelentőségét. Láthatjuk, hogy ha például egymás után kötünk két felező feszültségosztót, akkor a kimeneti feszültség nem a negyede lesz a bemenetinek (egyforma ellenállások esetén az ötöde). Ez felhívja a figyelmet arra, hogy a feszültségosztó osztási aránya (általánosabban, egy áramköri pont feszültsége) terhelés hatására megváltozhat. Fontos, hogy az alkalmazások során ezzel tisztában legyünk:

• Ahhoz, hogy adott terhelés hatását ismerhessük, tudnunk kell az ekvivalens Thevenin-ellenállás értékét.
• Az ekvivalens Thevenin-ellenállás értékét legegyszerűbben az eredő ellenállás módszerével kaphatjuk meg.
• Csak akkor feltételezhető a névleges osztási arány, ha a terhelés elhanyagolhatóan kicsi.
• Érdemes mindig Thevenin-féle helyettesítéssel gondolni egy áramkörre, részáramkörre. Reális feszültséggenerátorok esetén is ez az elterjedt eljárás.

Norton-tétel

Egy generátorokat és ellenállásokat tartalmazó, két kivezetéssel rendelkező áramkör vagy áramkörrész helyettesíthető egy áramgenerátorral és egy vele párhuzamosan kötött ellenállással.

A szuperpozíció tétele

Egy lineáris hálózatban a generátorok hatása összegződik.

Ezt felhasználhatjuk arra, hogy egy több generátort tartalmazó, vagy több feszültségbemenettel rendelkező áramkörben külön kiszámítjuk a hatásukat, majd ezeket összegezve kapjuk meg a végeredményt.

• Bármely ágáramot, csomóponti feszültséget kiszámíthatjuk úgy, hogy egyszerre csak egy generátor hatását vizsgáljuk – ezek a részáramok, részfeszültségek
• Egy generátor hatásának vizsgálatakor:
  • a többi feszültséggenerátor 0V (rövidzár),
  • a többi áramgenerátor 0A (szakadás).
• Ezen részmennyiségek összege lesz a megoldás
• A szuperpozíció tételének alkalmazásával jól ismert kapcsolásokra vezethetjük vissza a feladat megoldását Ez egyszerűséget és megbízhatóságot jelenthet.

Alkalmazási példa - két bemenetű feszültségosztó

Az alábbi áramkör egy két bemenettel rendelkező feszültségosztó, amit gyakran használnak különböző áramkörökben.

A V₁ és V₂ bemeneti feszültségekből kiszámítható a V kimeneti feszültség értéke. Az egyik hatásának kiszámításakor a másikat 0V-nak vesszük. Így két földelt feszültségosztó kimeneti feszültségének képletét használhatjuk, ezek összege adja a végeredményt:

Alkalmazási példa - három generátor

Egy összetettebb áramkörre is alkalmazzuk a szuperpozíció elvét. A feladat az A csomópontban mérhető feszültség és az I áram kiszámítása.

A V_G1 generátor hatásának kiszámításához a másik két generátornak 0V-ot kell adnia, így ezeket vezetékkel helyettesítjük.

Ha vesszük az R₁ és R₄ ellenállások eredőjét, illetve az R₂, R₃ és R₅ ellenállások eredőjét, akkor az A pont egy feszültségosztó kimenete VG bemeneti értékkel és ezzel a két eredő ellenállással. A részeredményt így egyszerűen megkaphatjuk:

A V_G2 generátor hatásának kiszámítása:

Ebben az esetben az A pont kimenetű feszültségosztó egyik ellenállása R₂, a másik pedig a többi ellenállás eredője. A részeredmény:

A V_G3 generátor hatásának kiszámítása:

Ebben az esetben az A pont kimenetű feszültségosztó egyik ellenállása R₃ és R₅ eredője, a másik pedig a többi ellenállás eredője. A részeredmények:

A végeredmény:

Tellegen tétele

A tétel feltétele az, hogy a vizsgált hálózatra teljesüljenek a Kirchhoff-törvények. Ekkor igaz, hogy ha minden ágra összegezzük az ágak végpontjai között mérhető feszültség és ágáram előjelhelyes szorzatát, akkor az összeg nulla lesz:

A tétel hasonló egyensúlyt jelent, mint a Kirchoff-törvények. Lényegében azt jelenti, hogy generátorok által kifejtett teljesítmény megegyezik a komponenseken disszipálódó teljesítménnyel. Másképp fogalmazva a fogyasztók által felvett teljesítmény megegyezik a generátorok által leadott teljesítménnyel.