Feszültség- és áramosztó áramkörök

Feszültségosztó

A következő ábrán látható feszültségosztó gyakran előfordul az alkalmazásokban, lényegében két sorba kötött ellenállásból áll:

A kimeneti oldalon, azaz az R2 ellenálláson eső a feszültség értéke:

Az áramkör tulajdonképpen feszültséget oszt fel változtatható arányban, használható ezért feszültség csökkentésére, kívánt feszültségérték előállítására is. Bemenetnek a két ellenállás végpontjait tekintjük, a kimenet az egyik ellenálláson eső feszültség.

A számítást a következő kapcsolás alapján végezzük el:

Kirchhoff huroktörvénye alapján az ellenállásokon eső feszültségek összege megegyezik a generátor feszültségével, és mindkét ellenálláson ugyanakkora áram folyik át. A generátor feszültségének és áramának hányadosa a két ellenállás soros eredőjével egyezik meg. Ezekből következően:

Az ellenállásokon mérhető feszültségeket megkaphatjuk a rajtuk átfolyó áram és az ellenállás szorzataként, így végül:

Fontos megjegyezni, hogy a fenti számítás csak azzal együtt érvényes, hogy az R₁ és R₂ ellenállások csatlakozási pontjában az áram nem ágazik el, azaz azonos áram folyik át a két ellenálláson. Ha terhelést teszünk a feszültségosztóra, akkor azt is figyelembe kell vennünk. Ilyenre több példát is láthatunk a későbbiekben.

Alkalmazási példaként említsük meg, hogy feszültségosztót használnak az oszcilloszkóp mérőfejében is a 10x-es osztáshoz. Ennek egyszerűsítétt kapcsolása:

Az 1 M ellenállás az oszcilloszkóp (mint feszültségmérő) belső ellenállása, a mérőfejben van a másik ellenállás. Az A/D konverter digitalizálja a jelet, az adatokat az oszcilloszkóp szoftvere kezeli, jeleníti meg.

A gyakorlatban ellenállásokkal párhuzamosan kötött kondenzátorok is részei az áramkörnek, ezzel úgynevezett kompenzált váltófeszütlségű osztót lehet megvalósítani.

Áramosztó

Az áramosztó áramot bont szét változtatható arányban, két vagy akár több párhuzamosan kapcsolt ellenállásból áll:

A befolyó áram szétoszlik, nagyobb része folyik azon az ellenálláson, melynek értéke kisebb. A számításhoz a követező áramkört vizsgáljuk:

Kirchhoff csomóponti törvénye alapján az ellenállásokon átfolyó áramok összege megegyezik a generátor által létrehozott árammal, és mindkét ellenálláson ugyanakkora feszültség esik. A generátor feszültségének és áramának hányadosa a két ellenállás párhuzamos eredőjével egyezik meg. Ezekből következően:

Az ellenállásokon átfolyó áramokat megkaphatjuk a rajtuk eső feszültség és az ellenállás hányadosaként, így végül:

Mindkét áram arányos a bemeneti árammal. Alkalmas ezért árammérő méréshatárának kiterjesztésére is. Ha például az áramosztási arány 1:100 értékű, akkor akár 100 A is mérhető 1 A méréshatárú műszerrel:

Az árammérővel sorba kötött ellenállás akár lehet a gyakorlatban az árammérő belső ellenállása is.

Áramkörök ki- és bemeneteinek összekötése

Áramkörök kimenete nem mindig tekinthető ideális feszültséggenerátornak, bemeneteik ideális feszültségbemenetnek (voltmérőnek). Ezt okozhatják megvalósítási korlátok, de szándékos tervezés is. Áramkörök összekötésénél ezeket ismernünk kell.

Egyszerű példa egy jelforrás, melynek kimentét egy feszültség adja és a jelet fogadó áramkör belső felépítése is lehet hasonló:

A Thevenin-tétel és az eredő ellenállás elvének felhasználásával az alábbi képet kapjuk:

A jelforrás kimeneti feszültsége és kimeneti impedanciája a Thevenin-tétel szerint:

Ezt a fogadó áramkör bemeneti ellenállása terheli:

A két áramkör csatlakozási pontján mérhető feszültség, amit a fogadó áramkör érzékelni fog:

Behelyettesíthetjük a részletesebb adatokat is:

Jelforrások és kézi multiméter összekötése

Feszültség mérése

Kézi multiméterek belső ellenállása feszültségmérési üzemmódban tipikusan 10 MΩ, ez terheli a mérendő jelet. A multiméterek földfüggetlenek, így földelt vagy földeletlen áramkör bármely két pontja közötti feszültséget megmérhetjük tetszőleges polaritással.

A feszültségmérés pontossága százalék alatti, ezt leronthatja, ha a mérendő jel kimeneti impedanciája túl nagy. Számítsuk ki például, mekkora lehet a jelforrás kimeneti ellenállása megengedett 1% hibához!

A műszer által mért feszültség:

Az eltérés a tényleges V_G értéktől akkor kisebb mint 1%, ha

Azaz:

Mekkora a mérés hibája, ha egy felező feszültségosztó kimenetét mérjük, mely két 1 MΩ ellenállásból épül fel? A kimeneti impedancia ekkor 0.5 MΩ, így a mért feszültség:

A hiba tehát 5% körüli. Jegyezzük meg, hogy a műszerek belső ellenállása legtöbbször nem pontosan specifikált, csak tipikus értéket ad meg az adatlap. Ennek megfelelően nem ajánlott a kompenzálása a fentihez hasonló számítással. A számítások főleg annak eldöntését segítik, hogy mekkora hibát okoznak a belső ellenállások, illetve milyen kimeneti ellenállást engedhetünk meg adott hibahatár esetén.

Az alábbi kalkulátorral kiszámítható az eltérés és hiba különböző esetekre.

Adatok

V_G =  V

R_out =  kΩ

R_in =  MΩ

Számolás

Feszültség az ideális esetben:

Mért feszültség:

Eltérés:

Áram mérése

Multiméterek áram mérésekor a műszerbe épített ismert értékű referenciaellenálláson eső feszültséget mérik. A feszültségmérési móddal ellentétben ennek értéke függ a méréshatártól is, lényegében így oldják meg a méréshatárváltást.

Számítsuk ki, mekkora hibát okoz az ampermérő belső ellenállása a következő esetben:

Ha az ampermérő belső ellenállása R_A, akkor a műszer által mért áram:

Legyen V_G = 5 V, R₁ = R₂ = 1 kΩ. Ideális műszer használatakor (R_A = 0 Ω) az áram értéke 2.5 mA lenne. Egy 3.5 digites multimétert 20 mA méréshatárban üzemeltetve a belső ellenállás értékére 10 Ω-ot láttunk a műszer adatlapjában. Ebben az esetben a műszer 2.49 mA-t mutat, az okozott hiba ≈0.5%.

Ha az ellenállások 200 Ω-osak, akkor az ideális és a műszer által mutatott érték 12.5 mA és 12.20 mA. A hiba ekkor 2.44% körüli.

Az alábbi kalkulátorral kiszámítható az eltérés és hiba különböző esetekre.

Adatok

V_G =  V

R₁ =  Ω

R₂ =  Ω

R_A =  Ω

Számolás

Áram az ideális esetben:

Mért áram:

Eltérés:

Jelforrások és oszcilloszkóp összekötése

Az oszcilloszkóp tipikusan földelt műszer (asztali vagy USB oszcilloszkóp kivitelben is), több bemeneti csatornája azonos földponthoz képest mér. Ennek megfelelően figyelnünk kell arra, hogy földeletlen vagy földelt áramkörökben hogyan mérhetünk feszültséget oszcilloszkóppal.

Az oszcilloszkóp bemeneti impedanciája tipikusan 1 MΩ, ami tehát a jelforrás kimenetét a földpontra köti ekkora ellenálláson keresztül. Ha ugyanazt a jelet két csatornára kötjük, akkor a terhelő ellenállás a két ellenállás eredője, azaz 0.5 MΩ. Jegyezzük azt is meg, hogy gyorsabban változó jelek esetén a bementi kapacitás is számottevő hatású lehet, ami a bemeneti ellenállással párhuzamosan kötött kondenzátorral modellezhető.

10 kΩ kimeneti ellenállású jelforrás esetén az okozott hiba:

Wheatstone-híd szenzor

Mérlegcellák, nyomásszenzorok is kis ellenállásváltozások mérését igénylik, melyeket mechanikai deformáció okoz. Mivel a relatív változás igen kicsi, egy közeli értéktől való eltérést célszerű mérni. Erre alkalmas elrendezés látható az alábbi ábrán.

A cél a ΔR/R relatív változás mérése, amihez egy ismert V_ref feszültséget két, a jobb és bal oldali ellenálláspárokból álló feszültségosztó bementére kötünk. A feszültségosztók kimeneti feszültsége az alábbi:

Ezek a feszültségek egy jelentős átlagos szintet (V_ref/2) tartalmaznak, így nagy méréshatárt (kis érzékenységet) kell használni a kismértékű változások kimutatásához. A két feszültség különbsége viszont nem tartalmazza az átlagos értéket, arányos a keresett ΔR/R értékkel:

Feszültségskálázás

Áramkörök bemenetére kötött feszültségosztók alkalmasak a jeltartomány kiterjesztésére, nagyobb feszültségek kezelésére, negatív feszültségtartományok pozitív tartományba konvertálására is.

A szuperpozíció elve alapján V_in és V₀ hatása a kimenetre:

A kimeneti feszültség tehát ezek összege. Láthatjuk, hogy az ellenállások arányának megválasztásával beállíthatjuk a bemeneti feszültség osztási arányát, a V₀ segédfeszültséggel pedig egy feszültségértéket adhatunk a kimenethez.

Példa: ±5 V feszültség átskálázása 0 V..5 V tartományba

A bemeneti feszültség 10 V, a kimeneti 5 V terjedelmű, tehát a bemeneti feszültséget felére kell osztani:

R és R₀ tehát azonos értékű kell legyen. A bementi feszültség járuléka ekkor -2.5 V és 2.5 V közötti lesz. Ehhez 2.5 V-ot kell adni:

Ez akkor teljesül, ha V₀ értéke 5 V.

A/D konverter bemeneti jelkondicionálása

Az AD7864-2 A/D konverter referenciafeszültsége 2.5 V (a konverter méréstartománya 0 V..2.5 V). A felépítése a következő:

Az A és B bemenetekre a V_in bemeneti feszültséget vagy a 0 V-ot köthetjük és feltételezzük, hogy az A/D konverter bemenete nagy impedanciájú, hatása elhanyagolhatóan kicsi.

• Ha az A és B bemenetekre is a V_in jelfeszültség van kötve, akkor
  • a jeltartomány 0 V..2.5 V
  • a bemeneti impedancia nagy
• Ha az A bementre a V_in jelfeszültség van kötve, a B bemenet földelt, akkor
  • a jelet a két ellenállásból álló feszültségosztó felezi
  • a jeltartomány 0 V..5 V
  • a bemeneti impedancia értéke 2⋅R

USB adatgyűjtő bemeneti jelkondicionálása

Az USB6008 USB adatgyűjtő műszer analóg bemenetének egyszerűsített felépítése a következő:

A referenciafeszültség 2.5 V, így az A/D konverter méréshatára 0 V..2.5 V. Az ellenállások értékei: R₁=127 kΩ, R₂=39.2 kΩ, R₃=30.9 kΩ. Számítsuk ki, a bemeneti feszültség milyen tartományban lehet! Feltételezzük, hogy az A/D konverter bemenete nagy impedanciájú, hatása elhanyagolhatón kicsi.

Számítás Kirchhoff csomóponti törvényével

Írjuk fel a csomóponti törvényt az ellenállások csatlakozási pontjára, feltételezve, hogy az A/D konverter felé nem folyik áram:

Ebből V_ADC-t kifejezve:

azaz

Végül:

Behelyettesítve a számértékeket:

Számítás Thevenin-tétellel

Alkalmazzuk a szuperpozíció elvét és a Thevenin-tételt. Az utóbbi szerint a V_ref-re kötött R₂ és R₃ ellenállásokból álló feszültségosztó helyettesíthető egy V_th feszültségforrással és egy vele sorba kötött R_th ellenállással:

V_th és R_th értékei:

Ennek megfelelően V_ref és V_in egyesített hatása az A/D konverter bementére

Behelyettesítve az adatlapi adatokat a következőket kapjuk:

Számítás a szuperpozíció tételével

Számítsuk először ki V_in járulékát! Ehhez V_ref értékét 0 V-nak vesszük, így R₁ feszültségosztót alkot R₂ és R₃ párhuzamos eredőjével:

V_ref járulékát hasonlóan kapjuk meg:

végül

Behelyettesítve a számértékeket:

A bemeneti feszültség az A/D konverter által mért feszültség függvényenként:

Ennek alapján V_ADC = 0 V esetén V_in ≈ -10.28 V, V_ADC = 2.5 V esetén V_in ≈ +10.60 V. A ±10 V tartományba eső bemenő jelek tehát mérhetővé válnak ezzel a bemeneti jelskálázással, a műszerben nincs szükség negatív feszültségű jelek kezelésére.

Jegyezzük meg, hogy a bemeneti ellenállás R₁ és R₂∥R₃ összege, azaz ≈ 144 kΩ.

A/D konverter bemeneti jelkondicionálása

Az AD7865-1 A/D konverter referenciafeszültsége 2.5 V (a konverter méréstartománya 0 V..2.5 V). A felépítése a következő:

Számítsuk ki az A/D konverter bemenetére jutó feszültséget az A és B ponton levő feszültségek függvényeként! Feltételezzük, hogy az A/D konverter bemenete nagy impedanciájú, hatása elhanyagolhatón kicsi.

Számítás Kirchhoff csomóponti törvényével

Írjuk fel a csomóponti törvényt az ellenállások csatlakozási pontjára, feltételezve, hogy az A/D konverter felé nem folyik áram:

Ebből V_ADC-t kifejezve:

azaz

Végül:

Számítás Thevenin-tétellel

Első lépésként helyettesítsük a Thevenin-tételnek megfelelően a 4⋅R ellenállásokból álló felező feszültségosztót:

Az eredő ellenállás 2⋅R, a V₁ Thevenin-helyettesítő feszültség értéke pedig

Az így kapott két 2⋅R értékű ellenállásból álló felező feszültségosztó szintén helyettesíthető egy generátorral és egy vele sorba kötött ellenállással:

A V₂ feszültség értéke:

Végül az A/D konverter bementére jutó feszültséget számítjuk ki:

A bemeneti feszültségekkel kifejezve:

Számítás a szuperpozíció tételével

Fejezzük ki előszőr V_A járulékát! Ekkor V_B és V_ref értékét is 0 V-nak vesszük, így V_A egy feszültségosztóra jut, melynek egyik elleállása 4R, a másik pedig 4R, 2R és R párhuzamos eredője:

Először a párhuzamos eredő reciprokát számítsuk ki:

ezzel V_A járuléka

V_B járuléka pontosan ugyanekkora:

Fejezzük ki V_ref járulékát! Ekkor V_A és V_B értékét 0 V-nak vesszük, így V_ref egy feszültségosztóra jut, melynek egyik elleállása R, a másik pedig 4R, 4R és 2R párhuzamos eredője:

A párhuzamos eredő reciprokára kapjuk:

V_ref tehát egy felező feszültségosztóra jut, ezzel járuléka

Végül:

A következőket állapíthatjuk meg:

• Ha az A és B bemenetekre is a V_in jelfeszültség van kötve, akkor
  • \( V_{ADC}= \frac {V_{in}}{4}+ \frac {V_{ref}}{2} \)
  • a jeltartomány -5 V..5 V
  • a bemeneti impedancia \( 2 \cdot R+(2 \cdot R) \parallel R = \left(2+ \frac {2}{3}\right) \cdot R \)
• Ha az A bementre a V_in jelfeszültség van kötve, a B bemenet földelt, akkor
  • \( V_{ADC}= \frac {V_{in}}{8}+ \frac {V_{ref}}{2} \)
  • a jeltartomány -10 V..10 V
  • a bemeneti impedancia \( 4 \cdot R+(4 \cdot R) \parallel (2 \cdot R) \parallel R = \left(4+ \frac {4}{7}\right) \cdot R \)

3-bites R-2R D/A konverter

Az R-2R ellenálláshálózatot elterjedten használják arra, hogy feszültségszinteket digitális adatokkal vezéreljenek. Az alábbi áramkör egy 3-bites D/A konverter felépítését mutatja.

A két állapotú kapcsolókat digitális jellel vezéreljük, így a V₀, V₁ és V₂ feszültségeket 0 V vagy V_ref értékre kapcsolhatjuk. A szuperpozíció elvet és a Thevenin-tételt több lépésben alkalmazhatjuk a kimeneti feszültség meghatározásához.

Először számítsuk ki V₀ járulékát, amihez a többi bemeneti feszültséget kössük 0 V-ra. Ha megadjuk a külső szaggatott vonallal keretezett rész Thevenin-ekvivalensét, akkor könnyen megadhatjuk V_out értékét is.

A belső szaggatott vonallal határolt áramkör helyettesítésével a következőt kapjuk:

További helyettesítéssel:

V₀ járuléka tehát:

V₁ hatásnak kiszámításához először számítsuk ki az alábbi áramkörben szürke szaggatott vonallal keretezett rész eredő ellenállását.

Egyszerű látni, hogy ennek értéke 2⋅R. Ez egy felező feszültségosztót alkot a B ponthoz csatlakozó függőleges ellenállással, így a Thevenin-féle helyettesítéssel az alábbi áramkört kapjuk:

Ennek alapján V₁ járuláka:

V₂ hatásának számításához határozzuk meg a szürke szaggatott vonallal határolt rész eredő ellenállását. Ez szintén 2⋅R értékű. Megállapíthatjuk, hogy az R-2R hálózat esetén bármennyi tag esetén erre az eredményre jutunk.

Ezzel V₂ is egy felező feszültségosztó bementére jut, aminek kimenete közvetlenül járul hozzá V_out-hoz:

V₂ járuláka:

A szuperpozíció elvét alkalmazva:

Jelentse Z_i 0 értéke azt, hogy a neki megfelelő kapcsolók 0 V felé áll, 1 pedig azt, hogy V_ref-et kapcsolja a hálózatra. Ekkor:

Ezt felhasználva

Ez a következő alakban is írható:

A zárójelben levő rész egy bináris formában adott Z egész számot reprezentál, így: