A feladat

Egy ismert alkatrészekből álló áramkör átviteli függvényét megmérjük és ki is számítjuk, majd összevetjük az elméleti és gyakorlati eredményeket. Hasonló módszert használunk impedancia mérésére és számítására is.

A szükséges elméleti háttér

A váltóáramú hálózatok frekvenciatartományi leírásából indulunk ki. Szükségünk lesz

• az időfüggő jelek komplex leírására,
• az átviteli függvényre,
• és az impedanciára.

Először egy RC áramkör, az aluláteresztő szűrő átviteli függvényének mérését nézzük meg. A következő ábra mutatja a mérés szimulációját:

Az áramkör bementére egy szinuszos feszültséggenetátort (VG1) kapcsolunk. A jel amplitúdója 1V, a frekvencia 50Hz, ezen a frekvencián mérjük meg az átviteli függvény értékét. A kimeneti jel (VF1) amplitúdóját leolvasva 0,82V-ot kapunk, a jel időbeli késése a bemeneti jelhez képes 1,93ms. A kimeneti és bemeneti jeleket frekvenciatartományban komplex számokkal írhatjuk le, melyek nagysága az amplitúdó, kezdőfázisa a nulla időpillanathoz rendelt fázist adja meg:

Az átviteli függvény ezek hányadosa:

Látható, hogy a kezdőfázisoknak csak a különbsége jelenik meg, tehát elég ismerni a két jel időbeli eltolását. Ez 1,93ms, amit át kell alakítani fáziskülönbséggé. Mivel a teljes periódus 20ms és ez 2π fázisnak felel meg, az 1,93ms radiánban kifejezve:

Ha a kimeneti jel időben késik, akkor a bemeneti jelhez viszonyított fáziskülönbség negatív, ami jól érthető a tananyagban elérhető szimuláció segítségével. Az átviteli függvény értéke a használt 50Hz frekvencián tehát:

Számítsuk is ki az átviteli függvény elméleti értékét! Ennek az áramkörnek az átviteli függvényét impedanciák segítségével könnyen le lehet vezetni, ahogy a jegyzetben látható. Az ω körfrekvencia az 50Hz frekvencia 2π-szerese, a pólusfrekvencia pedig ω_p=1/RC. Behelyettesítéssel megkapjuk az átviteli függvény abszolút értékét és fázisát:

Ezek közel ezrelék pontosággal megegyeznek a szimuláció során leolvasott értékekkel. Jól látható tehát, milyen a valós jelek kezelése és a frekvenciatartományi komplex leírás kapcsolata, hogyan használhatjuk az elméleti módszereket a gyakorlatban.

Impedancia mérése

Az átviteli függvény a kimeneti és bemeneti jelek kapcsolatát adja meg, amihez igen hasonlóan az impedancia egy passzív alkatrész vagy hálózat feszültség-áram viszonyát írja le, szintén komplex számok segítségével.

A fentebbi áramköri elrendezés egyúttal impedancia mérésére is használható. Tegyük fel, hogy egy sorba kötött ellenállás és kondenzátor impedanciáját szeretnénk megmérni. Az alábbi áramkört használjuk ehhez:

R1 értékét ismertnek tételezzük fel, ez lesz a referencia, amivel összehasonlítjuk a mérendő impedanciát. A sorba kötött R2 és C1 alaktrészek eredő impedanciáját mérjük egy adott frekvencián úgy, hogy a VG1 generátorral meghajtjuk az áramkört és megmérjük az impedancián eső VF1 feszültséget. Az áram minden alkatrészen azonos, így az R1 ellenálláson átfolyó áram egyúttal az eredő impedancia számításához szükséges áram is. Ezt az áramot ezért egyszerűen kiszámíthatjuk:

A sorosan kapcsolt R2 és C1 eredő impedanciájának számításához mindent ismerünk:

Természetesen minden feszültséget komplex írásmóddal kell vennünk:

Ezek felhasználásával:

A fáziskülönbséget az előzőeknek megfelelően számíthatjuk ki:

Mivel most a φ_VG1-φ_VF1 fáziskülönbségre van szükségünk, pozitív előjellel vesszük a 0,751 értéket, végül tehát:

Érdemes ezt valós és képzetes részt tartalmazó alakba írni:

Végül R behelyettesítésével megkapjuk az impedancia számértékét:

Ebből az olvasható ki, hogy az impedancia valós (azaz Ohmikus) része nagy pontossággal visszaadja az 1k értéket. A képzetes részből kiszámítható, hogy 50Hz-en mekkora kapacitás ad ilyen értéket:

Ez is igen pontosan egyezik a szimulációnál használt értékekkel, még a feszültségértékeket és időbeli késést grafikonról kurzurokkal leolvasva is.

Összefoglalás

Érdemes végiggondolni, mire volt szükség a feladat megoldásakor, a módszert így tudjuk más feladatok megoldásánál is alkalmazni.

Szükséges ismerni

• a váltófeszültségű jelek frekvenciatartományi, komplex írásmódját,
• a komplex forma és valós időfüggő jelek kapcsolatát, a fázis és időbeli késés összefüggését
• az átviteli függvény és impedancia foglamát, használatát, kiszámításuk módját,
• a komplex számok matematikai kezelésének alapjait.

Az átviteli függvény és az impedancia értéke függ a frekvcenciától, így a mérést több frekvencián megismételve kaphatunk információt a frekvenciafüggésükről.

Kérdések, további gyakorlófeladatok

• Állítsa össze a kapcsolást valódi áramkörökkel és végezzen méréseket!
• A jelek időbeli eltolását a nullmetszetek segítségével olvastuk le, de a maximumok időbeli késését is használhatnánk. Hasonlítsa össze ezeket a módszereket!
• Milyen más módszerekkel lehet még szinuszos jelek közötti fáziskülönbséget meghatározni?
• Hogyan magyarázható, hogy időbeli késéshez negatív fáziskülönbség tartozik?
• Lehetne-e referenciaellenállás helyett kondenzátort használni impedancia méréséhez?
• Végezze el az impedanciamérést szimulációval úgy is, hogy a referenciaellenállás földelt!