Kalmár László élete

Beszélgetés a matematikáról Kalmár László akadémikussal

Az interjú szövege 1972-ben jelent meg a Természet Világa augusztusi számában a 351-356. oldalakon

Van a matematika körül egynéhány mítosz. Szülőit, terjesztőit elég nehéz tetten érni. Persze sokat köszönhetünk maguknak a matematikusoknak is. De oktatási rendszerünk, lényegileg egész kultúránk segítette terjedését. Hogy csak párat említsünk a mítoszok közül, ilyen pl. a matematika ún. ezoterizmusa (azaz érthető-e a matematika nem matematiku-soknak?), ilyen purizmusa (azaz alkalmazható-e a matematika, vagy matematika-e a matematika alkalmazása?) és ilyen referencianélkülisége (azaz vonatkozik-e a valóságra a matematika, ami persze összefügg az előzővel). Ezek a „mítoszok”, egyik erősebben, másik gyengébben benne élnek tudatunkban.

Az persze igaz, hogy amióta emberek vagyunk, mítoszaink is vannak. Az is kétségtelen, hogy mítoszaink nem helyettesíthetők semmi mással, legfeljebb magyarázhatók; de az már aligha kívánatos, hogy nem mítikus gondolkodásmódunk egyik csúcsteljesítmé-nyének, a matematikának legalapvetőbb problémáihoz mitikusan viszonyuljunk.

Az ismeretterjesztésnek mindig van ködoszlató funkciója – s e téren a mítosz köd. Ennek jegyében kerestük fel Kalmár László akadémikust, a szegedi József Attila Tudományegyetem tanszékvezető egyetemi tanárát, hogy néhány alapvető kérdésről beszélgessünk vele. Ennek a beszélgetésnek a tiszteletadáson túl, ami Kalmár László személyének, matematikusi pályafutásának szól, az is célja volt, hogy bevezessünk vele egy olyan cikksorozatot, amely a modern matematikai tudományágak jelen állásáról szól.

A beszélgetésen a szerkesztőséget Horányi Özséb képviselte.

Legelőször arra kérjük, hogy matematikusi pályafutásának kezdetéről szóljon.

Kalmár: Matematikai érdeklődésem elég korán kezdődött. Kisgyermekkoromban órákat töltöttem „számlálással”: mondogattam, hogy egy, kettő, három,…, sokszor több ezerig. Még az iskola előtt megtanultam összeadni, kivonni, szorozni, osztani. A szorzás úgy kezdődött, hogy egyszer megkérdeztem Piroska nővéremtől, hogy hány nap volt eddig, mióta a világ világ. Azt mondta, hozzak egy kis papirost, majd azon kiszámítja. Attól kezdve már nem az eredeti kérdés érdekelt, hanem az, hogy hogyan lehet ilyen nagy számot ezen a kis papíron kiszámítani. Addig nem voltam hajlandó tágítani, amíg meg nem mutatta, hogyan lehet összeszorozni 1910-et – ennyit írtunk abban az évben – 365-tel. Ettől kezdve az udvarunkon (édesapám uradalmi intéző volt) a porban egy pálcikával firkáltam szorzásokat és szaladtam az uradalmi kocsishoz, hogy mennyi 5x7, aztán leírtam a 35-ből az 5-öt, a 3-at pedig fejben tartottam a következő szorzathoz való hozzáadás végett.

Ezért is kerültem idő előtt iskolába. Édesapám meg is mondta; azért ad be, hogy butítsanak egy kicsit. A gimnáziumban is még sokáig abból éltem, amit ebben a „butító” elemi iskolában tanultam, ugyanis osztatlan iskola volt, hat osztályt tanított egy tanító egy teremben egyszerre, és én mindig odafigyeltem, ahol valami érdekes történt, függetlenül attól, hogy a mi osztályunknak szólt-e vagy nem.

Egyszer megkérdeztem Endre bátyámat, hogyan lehet kiszámítani azt, hogy melyik számot kell önmagával megszorozni, hogy egy adott számot kapjunk (ez a kérdés valami rejtvényfejtés közben merülhetett föl), amire ő azt mondta, hogy az ehhez szükséges műveletet négyzetgyökvonásnak hívják, és „majd, ha nagy leszel, megtanulod”. Ez aztán tüske módjára roppantul izgatott, és addig nem is nyugodtam meg, amíg később – már édesapám halála után, pesti kisgimnazista koromban – rá nem jöttem a négyzetgyökvonás algoritmusára. A gimnázium nyolc éve alatt – a háborús idők zűrzavarai miatt – kilenc matematikatanárom volt. Közülük talán Dávid Lajos, a későbbi debreceni egyetemi tanár, a magyar matematika történetének kutatója volt rám leginkább hatással. Meghívott a lakására, megmutatta gazdag könyvtárát. Elámultam, hogy mennyi matematikai könyv létezik a világon.

Matematika-fizika szakos tanárjelöltként egyetemre kerülésem után legnagyobb hatással Fejér Lipót professzor volt rám, bár a szakdolgozatomat Kürschák professzornál írtam. Ő a Műegyetemen tanított, de szívesen foglalkozott tanárjelöltekkel is. Fejér Lipótnak hihetetlenül szuggesztív volt az előadásmódja. Nem sokat törődött azzal, hogy mennyi anyagot végeztünk, de rengeteget lehetett tőle tanulni, persze csak annak, aki rezonált rá. A gyenge hallgatók nevettek rajta, hogy előadás közben grimaszokat vág, hogy hol a hátsó padból magyaráz, hol pedig előre fut a táblához, ír valamit, aztán megint hátramegy. Azok voltak a legérdekesebb előadásai, amikor valamit már befejezett, és nem akart újba kezdeni és mesélt a legutóbbi olvasmányáról, ami hatással volt rá. Ezzel olyan távlatokat nyitogatott az ember előtt, amit akárhány előre jól átgondolt, szabványos előadás sem tudott nyújtani.

Hallhatnánk göttingeni tanulmányútjáról?

Kalmár: Göttingen akkoriban a matematikusok Mekkája volt, elsősorban D. Hilbertnek köszönhetően, aki univerzális zseni volt, sorra végigjárta a matematika minden területét, mindenütt a legaktuálisabb problémákat vetette fel és oldotta meg. Hilbert mellett még Landau, Courant, Herglotz vonzották a világ matematikusait Göttingenbe. És voltak ott fiatal, tehetséges magántanárok, akiktől szintén rengeteget lehetett tanulni.

Én egyébként amikor végeztem és a komplex változós függvények interpolációjáról írt disszertációmmal doktoráltam, Ortvay professzor elméleti fizikai (akkori nevén matematikai fizikai) tanszékére kerültem tanársegédnek Szegedre, amit nagy szerencsémnek tartottam, mert az állástalan diplomások korában éltünk. Ortvay professzornak megmondtam, hogy matematikus vagyok, nem fizikus, de ő azt válaszolta, hogy az kell most az elméleti fizikához. De aztán nyilván csalódott bennem, mert a következő évben, amikor meghívták Pestre, oda már nem vitt magával. Úgy látszik, túlságosan matematikusnak talált.

Egy-két kollégámhoz írt levelemben Szegedet magyar Göttingennek neveztem. Valóban Budapesthez képest Szeged is matematikai paradicsom volt, helyben volt a kézikönyvtár, olyan tökéletes könyvtár, amelyhez még a pestiek is mindig lezarándokoltak olvasni. Minden megvolt. Ez a könyvtár persze Riesz Frigyes és Haar Alfréd professzorok tevékenységének köszönhető, főleg az Acta Scientiarum Mathematicarum c. matematikai folyóirat megalapításának. Ez a folyóirat márka volt a világpiacon, minden matematikai folyóiratot meg lehetett kapni érte cserébe, minden jelentős könyvkiadó megküldte neki matematikai kiadványait ismertetés végett.

Visszatérve Göttingenbe, „belföldi” tudományos kutatási ösztöndíjjal kerültem oda. (Tipikus volt, hogy belföldi tudományos kutatási ösztöndíjnak hívták, de azt nem tudták megmondani, hogy belföldön mit csináljon az ember vele.) Akkor mentem oda, amikor Szegeden már bevégződött a félév, nyári szünet volt. Göttingenben viszont javában tartott a nyári félév. Természetesen megpróbáltam Hilberttel kapcsolatba lépni. Öreg volt már, bizony megesett, hogy halmazelméleti előadásán kiesett a kréta a kezéből. Volt egy nagyon jó magántanára, Bernays, leültette Hilbertet, fölvette a krétát és folytatta az előadást. Közben Hilbert 2-3 percet bóbiskolt, aztán fölnézett, figyelte egy percig, mit mond Bernays, majd visszavette a krétát és folytatta az előadást. Egy ízben Bernays jóvoltából sikerült beszélgetnem is Hilberttel.

Landauval is nagyon szerettem volna találkozni. Gyermekkoromtól fogva nagyon izgattak a prímszámok, szerettem volna róluk mindent tudni. Dávid tanár úrtól kölcsön kaptam annak idején Landau kétkötetes monográfiáját a prímszámokról, később megismertem háromkötetes számelméleti művét is. Azonban a helybeliek azt mondták, hogy Landau nem fogad senkit, mert újabb könyvén dolgozik. Landau függvénytani szemináriumára jelentkeztem. Hajlandó volt befogadni, adott előadni való témát is. A szeminárium után sem lehetett vele beszélni, mindig eltűnt egy pillanat alatt. (Jól osztotta be az idejét!)

Szegedre hazatértem után azonban Fencheltől, Landau egyik tanársegédjétől kaptam egy szűkszavú lapot. Eszerint Landau Bernaystól értesült egy megjegyzésemről az aritmetika alapjaival, a Peano-féle axiómákkal kapcsolatban, és a következő kérdései vannak. Publikáltam-e ezt a megjegyzésemet? Ha igen, akkor közöljem vele az irodalmi adatait. Ha nem, akkor ezt kérdi, megengedném-e, hogy készülő Grundlagen der Analysis c. könyvében publikálja.

Egy jó óráig kellett gondolkodnom, hogy milyen megjegyzésemre vonatkoznak Landau kérdései. Végre eszembe jutott, hogy Hilbert egyik előadásában az ún. transzfinit számokra (a természetes számoknak egy végtelenbe menő általánosítására) az összeadást és a szorzást a szokásos halmazelméleti tárgyalástól eltérően oly módon vezette be, ahogy az axiomatikus aritmetikában szokás ezeket a műveleteket a természetes számokra bevezetni. Azt a tételt, amely megmutatja, hogy az ún. transzfinit rekurzióval való definíció jogosult, véleményem szerint a szükségesnél bonyolultabban bizonyította be. Ezért az előadás után megkérdeztem Bernayst, hogy miért nem úgy csinálta Hilbert, ahogy az aritmetikában szokás. Bernays erre azt kérdezte, hogy mit értek azon, hogy „az aritmetikában szokás”. Vacsora közben elmondtam neki, hogyan gondoltam át magam számára, hogy Neumann János „Zur Hilbertschen Beweistheorie’ c. cikkében szereplő  axiómarendszere alapján – amelyről Neumann azt állítja, hogy elegendő az aritmetika felépítésére – hogyan lehet az összeadás és a szorzás rekurzióval való definíciójának jogosultságát bebizonyítani. Én akkor azt gondoltam, hogy ezt mindenki így képzeli.

Landaut azért érdekelte ez az általam lényegtelennek tartott megjegyzésem, mert ahogy a később megjelent „Grundlagen der Analysis” c. könyvéből kiderült, előzőleg a következő eset (ahogy könyve előszavában írja, „borzalmas kaland”) történt vele. Előadást tartott az aritmetika axiómatikus felépítéséről a Peano-axiómák alapján. Eközben a rekurzióval való definíció jogosultságát hibásan bizonyította be. Erre egy Grandjot nevű tanársegédje figyelmeztette. Landau számára ez olyan sokkot jelentett – tudvalevőleg a precízség mintaképének tartotta magát –,  ami miatt egy könyvet kellett írnia. Az előszóban írja, hogy „habozással állok a nyilvánosság elé ezzel az írással, mert egy olyan területről publikálok ezzel, amelyről semmi új mondanivalóm nincs, leszámítva Kalmárnak egy szóbeli közlését”. Írja, hogy Neumann segítségét is igénybe vette, hogy a szakirodalomban helyes bizonyítást találjon a rekurzív definíció jogosságára, de csak nagyon bonyolult, hosszú a könyv többi részeitől teljesen elütő jellegű bizonyítást talált. Már-már elhatározta, hogy Dedekind több mint tízoldalas bizonyítását írja be a könyvbe, amikor az utolsó pillanatban értesült Kalmár sokkal egyszerűbb bizonyításáról. Ettől a dolog olyan egyszerű lett, és a bizonyítás a könyv első fejezete többi bizonyításához annyira hasonlónak néz ki, hogy a szakértő se vette volna észre, ha nem mondta volna el mindezt őszintén.

Tulajdonképpen ezzel kezdődött a matematikai logikával való kapcsolatom: ebből az esetből úgy látszott, érdemes ezzel foglalkozni. Különben is izgatott a Hilbert-féle bizonyításelmélet programja, amelyet Neumann említett cikkéből ismertem meg. Pesten ugyanis semmit sem hallottunk a matematikai logikáról, legfeljebb néhány olyan gúnyos megjegyzést, hogy Hilbert megint írt valamit, amit csak az „írástudók” értenek. Igaz, Fejér tisztelettel emlékezett meg a matematikai logikáról és a halmazelméletről is, de ő maga nem foglalkozott vele.

Mindenekelőtt kérnénk, beszéljen az ún. Hilbert-féle programról.

Kalmár: A Hilbert-féle bizonyításelmélet célkitűzése: bizonyítsuk be az aritmetikáról (vagyis a számtanról, hogy úgy mondjam a számtan elméletéről), az analízisről és sorra a matematika többi fejezetéről is, hogy nem vezethet abszurd logikai ellentmondásra. Ez azért volt problematikus, mert a halmazelmélet ellentmondásokra, ún. antinómiákra vezetett. Ezért nem „szellemek kergetése” volt az a kérdés, hogyan lehet a matematika egyes fejezeteit abszurd ellentmondások veszélye nélkül felépíteni. Persze a legfontosabb feladat az volt, hogy a halmazelméletet tisztítsuk meg az ellenmondásoktól. Erre is történtek kísérletek: Zermelo, tökéletesebb formában Fraenkel, később Neumann és mások megadtak olyan axiómarendszereket, amelyek alapján a halmazelmélet tételei bebizonyíthatók, de az axiomatikus felépítés előtti, ún. naiv halmazelmélet antinómiái nem lépnek fel. Hilbert mutatott rá arra, hogy nem elég, hogy empirikus tényként konstatáljuk azt, hogy a halmazelméleti axiómatikus felépítése esetén – a tapasztalat szerint – nem lépnek fel antinómiák, hanem végig kell vizsgálnunk a matematika összes fejezetét, és matematikai szabatossággal bebizonyítanunk, hogy nem vezetnek formális logikai (tehát abszurd) ellentmondásra. Ehhez persze pontosan meg kellett fogalmazni, hogy mit jelent egy vagy több állítás következménye, mik a tételek valamely axiómarendszerben, mikor mond egymásnak ellent két tétel formális logikai értelemben stb.

Én is megpróbáltam ebbe a kutatási irányba belekapcsolódni, de én magam is konstatáltam, amit később Bernays megírt Hilbert összegyűjtött munkáiban a bizonyításelméleti kutatásokról írt összefoglalásában, hogy e téren nagyon könnyű tévedni.

Volt azonban a matematikai logikának egy másik aktuális problémaköre, amely érdekelt, az ún. eldöntésprobléma. Ez a probléma így szól: keresünk olyan általános eljárást, módszert (matematikai szakkifejezéssel algoritmust), amelynek segítségével el tudjuk dönteni bármely adott logikai formuláról, hogy azonosan igaz-e, vagyis, hogy mindig érvényes logikai törvényt fejez-e ki. Erre a kérdésre vissza lehet vezetni azt a kérdést, hogy milyen következtetési módok jogosak.

Hogy e probléma jelentőségét megértsük, pár szót kell mondanom a logika történetéről.

A logika úgy kezdődött, hogy Arisztotelész megfogalmazott néhány következtetési módot, ún. szillogizmust (a kategorikus szillogizmusokat, és nagyon előrejutott az ún. modális szillogizmusok elméletében is). Noha Arisztotelésznek nagy tekintélye volt már az ókorban is, ez nem gátolta pl. a sztoikusokat, hogy másfajta következtetési módokkal is foglalkozzanak, elvileg egyszerűbb fajtákkal is. Csak a középkorban a késői skolasztika csinált Arisztotelészből fétist, a szabadgondolkodás elleni fegyvert, mondván, hogy csak olyan következtetésmódok vannak megengedve, amelyeket már  Arisztotelész kodifikált. Ily módon a logika nem is vethette fel azt a kérdést, hogy melyek az összes érvényes következtetésmódok. Sőt akadtak nagy filozófusok, mint pl. Kant, akiknek az volt a véleményük, hogy a formális logika fejlődése befejeződött. Ezzel szemben a matematika fejlődése során olyan problémák merültek fel, amelyekből kiderült, hogy a logika nem elég fejlett azok megoldásához. Addig, amíg a matematikusnak csak annyiban volt szüksége a logikára, hogy bizonyításai során következtetnie kellett, addig nem sokat törődött azzal, hogy milyen törvényeket kodifikált a logika, mert a matematikus a józan esze és a saját tapasztalatai alapján felismerte, mik a helyes következtetési módok.

És milyen momentumok ingatták meg ezt a helyzetet?

Kalmár: Egyrészt a nem euklidészi geometria felfedezése, másrészt pedig a halmazelmélet ellentmondásainak fellépte. Már az ókorban feltűnt, hogy Eukleidész egyik axiómája, az ún. párhuzamosok axiómája (amely lényegében azt mondja ki, hogy egy egyeneshez egy síkban egy adott ponton át csak egy olyan egyenest lehet húzni, amely nem metszi) bonyolultabb állítás, mint azok az egyszerű dolgok, amiket a többi axióma fejez ki, mint hogy pl. két ponton át mindig lehet egyenest húzni. Tehát már az ókorban felismerték, hogy a párhuzamosok axiómája inkább hasonlít Eukleidész tételeihez, mint többi axiómájához, és így jó volna ezt is mint tételt bebizonyítani. A bizonyítással többen kísérleteztek, a legmesszebb talán Bolyai és Lobacsevszkij jutott. Mindketten függetlenül egymástól, indirekt úton indultak el, vagyis feltételezték, hogy a párhuzamosok axiómája nem igaz, és megkísérelték, hogy addig következtessenek ebből a feltevésből és Eukleidész többi axiómájából, amíg ellentmondásra nem jutnak (ún. dedukció ad abszurdum). Ezzel ugyanis kiderülne, hogy lehetetlen, hogy a párhuzamosok axiómája ne legyen igaz. Ez a kísérlet ellentmondás helyett egy gyönyörű új, érdekes rendszerre vezetett, amelyben minden megtalálható, a háromszögek egybevágóságának elméletétől a területszámításig, csak minden másmilyen, mint az eukleidészi geometriában, és amire Bolyai jogosan mondta, hogy a semmiből egy új más világot teremtett. De az így keletkezett nem eukleidészi geometria ellentmondástalansága ismét csak empirikus tény. Így föl kellett vetni a kérdést, hogy csak azért nem jutottunk-e ellentmondásra, mert még nem mentünk elég messze a következtetésben, de további következtetésekkel ellentmondásra juthatnánk, és a szép új világ helyett a párhuzamosok axiómájának egy bizonyítását kapnánk, vagy valóban nem találhatunk-e ellentmondást, akármeddig következtetünk tovább.

Később a halmazelméletben is merültek föl egymásnak ellentmondó tételek. A kérdés ezáltal komollyá vált, vajon a matematika egyik-másik fejezete nem vezethet-e ellentmondásra? Ehhez meg kellett nézni, hogy mik az összes helyes következtetésmódok. Ezt pedig, mint mondtam, vissza lehet vezetni az eldöntésproblémára.

10-15 dolgozatot írtam erről a kérdésről. Egyik cikkem megoldja az eldöntésproblémát egy bizonyos speciális esetben. (Más, egyszerűbb esetekben már meg volt oldva.)  A többiek pedig az eldöntésprobléma redukcióelméletével foglalkoznak, vagyis az általános problémát visszavezetik bizonyos speciális eseteire. Matematikai-logikai tevékenységemnek ez volt a tengelye.

Később aztán foglalkoztam Gödel és Church tételeivel is. E téren nem új eredmények elérésére törekedtem, hanem egy, a matematikus számára meglehetősen sötétnek látszó kérdéskomplexum népszerűsítésére. Gödel ugyanis azt bizonyította be, hogy minden valamirevaló axiómarendszerhez lehet találni olyan problémát, amit meg lehet fogalmazni, de megoldani nem lehet benne (hogy mi az a valamirevaló, azt persze pontos feltételekkel kell előírni). Ez meglepő volt, mert a legtöbb matematikus, egyébként Hilbert is meg volt győződve arról, hogy a matematikában nincs ignorábimusz: adva van a probléma, tessék megoldani! (És ő maga példát mutatott ebben, amennyiben tényleg rengeteg problémát oldott meg.)

Azonban a Gödel-tétel sem áll szemben ezzel a meggyőződéssel, csak azt állítja, hogy a matematika problémáinak megoldásához állandóan tovább kell fejleszteni módszereinket. Nem lehet kikötni egy axiómarendszernél, mert akkor megoldatlanok maradnak bizonyos problémák. Vagyis nincs abszolút axiómarendszer, amellyel az egész matematika felépíthető volna. Lényegében ez a filozófiai tartalma a Gödel-tételnek.

Hallhatnánk valamit az axiómarendszerek mibenlétéről?

Kalmár: A matematika szerencséje (vagy talán szerencsétlensége?), hogy nagyon hamar megtalálta a maga jó módszerét. Zseniális dolog volt a régi görögöktől az axiomatikus módszer felfedezése. Ennek lényege az, hogy nem próbáljuk meg a lehetetlent, tehát nem próbálunk minden fogalmat definiálni és minden tételt bebizonyítani, mert hiszen ha definiálunk egy fogalmat, a definícióban fölhasználunk más fogalmat, azokat megint definiálni kellene, de annak a definíciójához még további „elődök” kellenének. Így visszafelé haladva sohase jutnánk a végére (jobban mondva a kezdetére), márpedig valamilyen fogalmakkal el kell kezdenünk a definíciót. Ugyanígy, amikor bebizonyítunk egy tételt, más tételekre hivatkozunk, de azokat is be kellene bizonyítani, és így tovább. Tehát itt is végtelen regresszióról van szó, amelynek lehetőségét már Arisztotelész elvetette (ugyanakkor a végtelen progresszió lehetőségét nem tagadja). Ezt a végtelen regressziót a matematikus meg sem próbálja, helyette leszögezi, hogy mik azok az alapfogalmak, amelyeket definíció nélkül ismertnek teszünk föl, és hogy mik azok az alaptételek, más néven axiómák, amelyeket bizonyítás nélkül igaznak fogadunk el. Minden további fogalmat igyekszünk visszavezetni ezekre az alapfogalmakra (azáltal, hogy azok segítségével definiáljuk), és minden további tételt igyekszünk visszavezetni az axiómákra (azáltal, hogy azok segítségével bebizonyítjuk).

Ezek után lehet úgy fogalmazni, hogy egy-egy axiómarendszer egy bizonyos előzetes tudásnak körülhatárolása, megfogalmazása? A matematika fejlődése pedig azt jelentené, hogy ezt az előzetes tudást meghaladjuk?

Kalmár: Igen. Ha a matematikát dialektikusan, vagyis fejlődésében nézzük, akkor világos, hogy a Gödel-tétel nem jelenti azt, hogy a matematikai megismerésnek abszolút határa volna. Viszont fejlődésének egy-egy adott stádiumában meg kell fogalmazni a módszereit, le kell szögeznünk, milyen alapfogalmak és milyen axiómák szolgálnak egy-egy fejezetének alapjául. Az így körülhatárolt tudásnak van határa. Ez teljes megegyezésben van a dialektikus materializmus ismeretelméletével, amely szerint a világ megismerhetősége nem azt jelenti, hogy előbb-utóbb mindentudók leszünk, és akkor megismertük a világot, hanem arról van szó, hogy az emberiség gondolkodásának és megismerésének végtelen fejlődésében nem marad semmi sem „örök titok”. Nagyon érdekes, hogy ez az általános megismerésnek abban a szférájában is így van, amit a matematika vállalt magára, és hogy ezt matematikai precízséggel be is lehet bizonyítani.

Azonban történtek kísérletek a Gödel-tétel egyéb, agnosztikus interpretálására is. Pl. azt állították, hogy a Gödel-tétel azt mutatja, hogy matematikai szigorúsággal be lehet bizonyítani, hogy a matematika nem képes a saját problémáit megoldani; vagy hogy vannak örökké megismerhetetlen dolgok a világon. Így aztán érthető, hogy a matematikusok meglehetős antipátiával fogadták a Gödel-tételt. Egyszer az Eötvös Loránd Matematikai és Fizikai Társulatban tartottam előadást erről a Gödel-tételről. Utána Hajós György kollégám hazakísért, és azt mondta, hogy lehet, hogy igaz, amit mondtam, de az ilyen dolgokat el kellene titkolni a matematikusok elől, mert destruálja őket: nem mernek nekifogni problémájuk megoldásának, mert hátha az is megoldhatatlan.

Egyébként az 1948-as amszterdami Nemzetközi Filozófiai Kongresszuson is megpróbáltam világossá tenni, hogy az agnosztikus értelmezés félreértésen alapszik.

És hogyan fogadták ezt akkor?

Kalmár: Még utólag is emlegették, hogy nyilván pártfegyelemből fejtettem ki ilyen nézetet. Pedig mondtam, hogy nem is vagyok párttag. Meg azzal viccelődtek, hogy „nagyon szép volt, amit mondtam, de érezhető volt, hogy a »vasfüggönyön« túli országból érkeztem.”

A Gödel-tétellel kapcsolatban egyrészt a bizonyítás ötletének az egyszerűsítésével foglalkoztam, többek között azáltal, hogy az eredeti Gödel-tétel bizonyításában szereplő rekurzív függvények osztálya helyébe egy egyszerűbb függvénykategóriát tettem, az ún. elemi függvényeket, amelyek nem mások, mint egy jól körülhatárolható képlettípussal definiálható függvények, és amelyek pótolni tudják a rekurzív függvényeket a Gödel-tétel bizonyításában. Másrészt pedig az én bizonyításmódom lehetővé tette, hogy általánosabban mondjuk ki a Gödel-tételt, hogy még kevesebbet kívánjunk attól a bizonyos axiómarendszertől, amelyről a Gödel-tétel azt állítja, hogy van benne megfogalmazható, de meg nem oldható probléma. Voltaképpen ilyen általános megfogalmazás esetén már nem is axiómarendszerről van szó, hanem egy bizonyos absztrakt értelemben vett teóriáról.

A Church-tétel, amely kapcsolódik Gödeléhez, a maga nemében még „rázósabb”. Hogyan változtatja meg ezt a most felvázolt képet?

Kalmár: Gödel tétele népszerűen úgy mondható ki, hogy vannak relatíve adott (bár igen általános határok között tetszőleges) axiómarendszer eszközeivel megoldhatatlan problémák, Church tételét viszont úgy szokták népszerűen kimondani, hogy vannak abszolúte megoldhatatlan problémák. Csakhogy a probléma terminus mást jelent a Gödel-tételben és mást a Church-tételben. A Gödel-tételben olyanszerű problémákról van szó, hogy állítunk valamit, és a probléma az, hogy ez az állítás igaz-e vagy nem. A Church-tételben ezzel szemben problémaseregről van szó, tehát végtelen sok problémáról, és ezeknek a közös megoldását kívánjuk megkeresni. Abban az értelemben, hogy olyan általános eljárást, szakkifejezéssel olyan algoritmust keresünk amelybe csak be kell adni a problémasereghez tartozó tetszőleges problémának a speciális paramétereit (ezek a paraméterek választják ki a problémaseregből a konkrét problémát), és akkor az algoritmus eredményeként megadja az illető probléma megoldását. Churchnek azt sikerült bebizonyítania egy bizonyos hipotézis alapján, hogy vannak olyan problémaseregek, amelyekre ez nem érhető el. A kérdéses hipotézis, az ún. Church-féle tézis valójában egy tapasztalati tény (és az a hipotetikus benne, hogy a jövőbeli tapasztalatok is megerősítik-e). Azt mondja ki, hogy minden olyan függvénydefiníció, amelynek alapján a definiálandó függvény értékét bármely helyen véges számú lépésben ki lehet számítani, egy bizonyos általános rekurzív függvénydefiníciónak nevezett szabványos alakra hozható (függvénynek itt, rövidség kedvéért, olyan egy- vagy több változós függvényt neveztem, amelynek minden független változója is a természetes számokon fut át és értékei is természetes számok). Tehát még ha elfogadjuk is a Church-féle tézist (ami ellen, mint 1957-ben egy másik amszterdami konferencián rámutattam, éppúgy lehet plauzibilitási érveket felhozni, mint ahogy Church mellette hozott fel ilyen érveket), akkor is csak azt mondja ki a Church-tétel, hogy a matematikusnak szerencséje van, ha egy problémasereg megoldására sikerül általános algoritmust adnia, de ezt a szerencsét nem várhatjuk minden esetben. Vannak ugyanis olyan végtelen problémaseregek, amelyeknek a maguk egészében való megoldása mindig meghaladja tudásunknak adott fejlettségét, és csak tudásunk végtelen fejlődése során lehetséges. Többek között az eldöntésprobléma is ilyen. (Ez a Church-tételnek egyik következménye.) Tehát a Kant-féle szűk szemlélettel szemben (amely szerint a formális logika lezárt tudomány) azt a sokkal nagyobb távlatot nyújtó szemléletet kell érvényesnek tartanunk, hogy még a formális logikán belül is, annak megállapításához, hogy melyek az érvényes következtetésmódok, tudásunk végtelen fejlődésére van szükség. (S ez nyilván még sokkal fokozottabban így van a világ megismerésének abban a szektorában, amely pl. a fizika gondjára van bízva.)

Ön itt a matematikai megismerés fejlődésének szakadatlanságát hangsúlyozta. Tudjuk, hogy 1965-ben Londonban éppen azért feszegette a matematika alapjai körüli problémákat, azért vetette fel többek között a matematikai empirizmus kérdését, mert úgy látta, hogy a matematika alapjainak vizsgálata megtorpant, stagnál.

Kalmár: A viszonylagos stagnálást bizonyos negatív eredmények okozták, pl. a Hilbert-féle program megakadása. Kiderült ugyanis, hogy az axiomatikus módszer sok mindenre jó, de arra nem, amire kigondolták. Most nem a régi görögökről beszélek, akiktől nyilván nem is lehetett többet várni, mint azt, hogy az axiómákban mindenki számára elfogadható, szemléletünk számára evidens alaptényeket lássanak. De még a múlt században, sőt a 20. század elején is az volt az általános felfogás, hogy axiómák arra szolgálnak, hogy implicite definiálják az alapfogalmakat, vagyis azokat a fogalmakat, amelyeket (explicit) definíció nélkül ismerteknek teszünk fel (mert éppúgy nem lehet egy tudományág minden fogalmát definiálni, mint ahogy nem lehet minden tételét bebizonyítani, hiszen minden definíció a definiálandó fogalom visszavezetését jelenti más fogalmakra és a végtelen regresszió e téren sem lehetséges). Ti. az alapfogalmaknak olyan fogalmaknak kell lenniük, amelyekre az axiómák érvényesek. Ez a koncepció azonban inkább a logikusok, mint pl. az algebristák koncepciója volt. Kiderült azonban, hogy minden axiómarendszernek vannak különböző szerkezetű modelljei. Tehát az axiómarendszer semmilyen értelemben nem jellemzi egyértelműen az alapfogalmakat. (Az algebristák az axiomatikus módszert kezdettől fogva arra használták, hogy különböző szerkezetű, de közös axiómáknak eleget tevő rendszerek, ún. struktúrák tulajdonságait vizsgálják segítségével.)

Néhány ilyen koncepció megdőlésére mutattam rá Londonban, és egyik kiútként (szándékosan adva a naívat, mert tudtam, hogy nagy vihart kavar) bedobtam azt a kérdést, hogy nem kellene-e egyszer már elismerni a matematika empirikus alapjait is? Az axiómák ugyanis csak későbbi állapotukban váltak „axiómákká”, csak később vált tudatossá e funkciójuk (addig empirikus tényeknek tekintették őket), ugyanakkor el is homályosodott empirikus alapjuk. Pedig az ember a tapasztalatból tudta, hogy mi a pont, legalábbis megközelítőleg; tudta, hogy mi az egyenes stb., és az ugyancsak tapasztalati eredetű szemlélet alapján ismerte tulajdonságaikat. A geometria alapfogalmai és axiómái tehát az emberiség hosszú tapasztalatának leszűrt eredményei.

Nem véletlen, hogy szemléletünk az eukleidészi geometriának felel meg, mert akkor alakult ki, amikor még a legnagyobb sebesség a gyors lábú paripa vágtatása volt, a legkisebb tárgy a homokszem, és a legnagyobb távolság a szemmel látható legtávolabbi állócsillagtól való távolságunk volt (amelyről akkor még persze nem tudták, hogy olyan nagy, mint amekkora, jóval kisebbnek képzelték). Ilyen körülmények között empirikusan kialakult a szemléletünk, azonban az objektív valóságnak nem kell ehhez igazodnia, mert az objektív valóság olyan, amilyen. Szerencsére a szemléleten kívül van egy másik jó eszközünk, a logikánk, az absztrakcióképességünk, amellyel követni tudjuk olyan területekre is a valóságot, ahol már a szemléletünk nem igazít el.

Az axiómák tehát történetileg empirikusan alakultak ki. De a logikai törvények sem a priori törvények, hanem azok is a tapasztalaton alapulnak. Az emberiség ugyanis évezredeken keresztül gondolkodott, és eközben rájött, hogy hogyan gondolkodjunk, hogy mindig helyes eredményre jussunk. Amit ma a priori evidesnek tekintünk, azt azért tekintjük annak, mert megszoktuk, mert ebben nőttünk föl. Rámutattam például arra is, hogy tulajdonképpen a gondolkodás, a logika ma is fejlődik. Riemann pl. nagyon precíz matematikus volt, mégis vannak a műveiben „hibák”. Vajon ezek hibák-e, vagy pedig akkor még azt hitte, hogy szabad úgy következtetnie, mert nem volt rá ellenpélda? (Nagyon szubtilis következtetési módokról van szó!)

De amit eddig sikerült bebizonyítani a matematika feltevésnélküliségéről, egyes részterületei axiómáinak ellentmondástalanságáról, arra nézve sincs más, mint empirikus evidencia arra, hogy azokat a módszereket jogos az ellentmondástalanság bizonyítására használni. Így a matematikának ma is egy sereg empirikus előfeltétele van.

A legélesebben Bar-Hillel szállt szembe az általam kifejtettekkel: Még egyáltalán él a matematikai empirizmus? – kérdezte nagy hévvel. Nagyon érdekes vita bontakozott ki. Engem nem izgatott, hogy Bar-Hillel olyan csúnyán nekem jött, félredobott minden udvariasságot. A vele szemben álló Popper-féle iskola tagjai és még sokan mások viszont mellém álltak.

Ez a hevesség még az utóbb könyv alakban megjelent anyagból is kitűnik, de hadd kérdezzem – Londonban Bernays beszélt erről –,  hogy a matematika empirikus volta és a természettudományoké különbözik-e egymástól?

Kalmár: Különbözik, éppen amiatt, hogy a matematika axiomatikusan fogalmazza meg a saját kiindulópontját. Ez biztosítja a matematika nagyfokú általánosságát, széles körű alkalmazhatóságát. Az axiomatikus módszerrel megőrizzük az empirikus kiindulópontot, de a létrehozott matematikai segédeszközt nemcsak arra lehet alkalmazni, ami az empirikus kiindulópont esetén előttünk lebegett, hanem minden olyan rendszerre, amelyre a megfelelő axiómák érvényesek, tehát az alapul vett axiómarendszer valamennyi, különböző szerkezetű modelljére. Ez a magyarázata annak, hogy többféle geometria lehetséges. Ugyanis valamiféle empirikus geometriánk van, tudniillik ha az anyag mechanikai mozgásának a színhelyét tekintjük térnek és pl. a fény útját tekintjük egyenesnek, és így tovább, akkor ennek a térnek egyértelmű geometriája van. De lehet értelmezni a geometria alapfogalmait másképp is, és lehet, hogy a geometria egy másik értelmezésben válik a fizikának jó segédeszközévé. Ilyen szempontból a matematikának az értéke a természettudós, a mérnök számára abban rejlik, hogy különböző körülmények között használható segédeszközt ad. Ilyen értelemben a matematikai eszköz más valóságos tényekre is alkalmazható – ha azok kielégítik ugyanazokat az axiómákat –, amelyekből eredetileg keletkezett.

Az alkalmazás eszerint a matematikai kalkulus interpretációjának tekinthető?

Kalmár: A matematikus szemszögéből igen. Az alkalmazó szakember szempontjából viszont az a probléma az elsődleges, amelynek megoldására a kalkulust vagy egyéb matematikai eszközt alkalmazni akarjuk, és „szerencse”, hogy a matematika sok esetben készen szolgáltat használható eszközt. (Ha nem szolgáltat, akkor az alkalmazó szakembernek kell a matematikai eszközt megtalálnia, tehát tulajdonképpen matematikai kutatást is kell végeznie. Nem lehet tőle rossz néven venni, hogy ezt legtöbbször nem önti abba a szabatos formába, amelyben a matematikus utólag, rendszerint általánosabban, tehát más célokra is alkalmazhatóan megfogalmazza.)

Mit jelent tehát a matematika eszköz jellege?

Kalmár: A matematikus számára a matematika nem csupán eszköz. A matematikust érdekli a probléma. Érdekes problémákkal foglalkozik, sokszor függetlenül attól, hogy alkalmazzák-e vagy sem, hogy mikor fogják alkalmazni. A tapasztalat mégiscsak az, hogy előbb-utóbb alkalmazásra kerül, bár esetleg aki megalkotja, nem is gondol rá. Esetleg már az ő korában alkalmazzák, de akkor is sokszor rábízza az alkalmazást másokra. Ez természet dolga. A matematikus számára a matematika mindenesetre érdekes problémák megoldására szolgáló elméletek gyűjteménye, és nem tisztán alkalmazási eszköz. Viszont érthető az, hogy a természettudományos kutató számára elsősorban mint eszköz jöhet tekintetbe.

Kétségtelen, hogy legalábbis a matematika elemi részei a valóság tulajdonságából fejeznek ki valamit. Pl. az aritmetika tételei közvetlenül a valóság bizonyos tulajdonságait fejezik ki Más kérdés az, hogy éppen ezek a tulajdonságok érdekesek-e? De minél tovább alkalmazza a matematika az absztrakció módszerét, annál inkább az a helyzet, hogy amihez jut, az nem egy tulajdonságát, hanem sok tulajdonságát fejezi ki a valóságnak egyidejűleg, közös alakban. Ami távolról sem jelenti azt, hogy a matematika erősen absztrakt részeinek semmi közük a valósághoz. A matematika absztrahálás útján bizonyos értelemben elszakad ugyan a valóságtól, de azért, hogy általános tényeket állapítson meg róla, így mindig vissza is talál a valósághoz. A matematikai absztrakció tehát nem visszafordíthatatlan, irreverzibilis folyamat, hanem olyan folyamat, amelyet minden esetben rekonkretizálással kell visszafordítani. Éppen ebben áll a matematika alkalmazása. Egy jó matematikus, főleg ha alkalmazásokkal is foglalkozik, az absztrakcióhoz éppúgy ért, mint a rekonkretizáláshoz.

A matematikai módszer alkalmazási köre kiterjedésének kérdését különböző tudományok területére két vonalon kellene megközelíteni. Egyrészt minden szaktudomány igyekszik minél nagyobb szabatosságra, és ebben talán Spinoza óta (Ethica more geometrico demonstrata) a matematika a mintaképe. Van ilyen törekvés pl. a nyelvészetben is. A nyelvészet a társadalomtudományoknak az az ága, amely a legrégebbi idők óta alkalmazza az absztrakció módszerét és régóta igyekszik precízzé válni, sokkal inkább, mint számos más társadalomtudomány. A közgazdaságtudományban is hasonló célból igyekeznek matematikai módszereket használni. Ez tehát az egyik oldala a dolognak: a szaktudományok törekszenek a nagyobb szabatosságra.

A másik oldala pedig az, hogy a matematikus is törekszik a már egyszer megtalált módszereknek minél szélesebb körű alkalmazására, mert ez is a matematika fejlesztésének egyik módja. Pl. a matematikus régen megismerte a természetes számok mellett a racionális számokat, a valós számokat, a komplex számokat. Mindegyik „számkörnek” más strukturális tulajdonságai vannak. Lassanként észrevette a matematikus, hogy az algebra tételeinek bizonyítása során nincs kihasználva az, hogy éppen számokról van szó, mert azok érvényesek minden olyan összeségre, amelynek többé-kevésbé hasonló strukturális tulajdonságai vannak. A hasonlóságot az fejezi ki, hogy a számokra érvényes axiómák közül melyeknek tesz eleget az illető összesség. Ha eltekintünk attól, hogy a geometria mindig formákkal foglalkozott, és minden forma minőségi elemeket tartalmaz, akkor alighanem ez volt az első lépés a matematika „kvalifikálására”, minőségi jellegű alkalmazására. Nyilvánvaló ugyanis, hogy ha nemcsak számokra érvényes, amiről beszélünk, akkor lehetőség van kvalitatív jellegű fogalmakra való alkalmazásra. A múlt század második felében és a jelen században létrejött számos ilyen értelemben kvalitatív jellegű fogalmakra való alkalmazásra. A múlt század második felében és a jelen században létrejött számos ilyen értelemben kvalitatív elemeknek is ajtót nyitó fejezet a matematikában. Így pl. a geometriából kinőtt és a matematika önálló fejezetévé vált a topológia, a mérés nélküli geometria, amely egyébként régebbi kérdésfeltevésekből táplálkozott. Másrészt a halmazelmélet, amelyben már kifejezetten nem mennyiségekről, hanem tetszőleges természetű elemekről és azok összeségeiről, halmazairól van szó, szintén a századforduló terméke.

Ennek a két tendenciának a találkozása a matematikai módszerek alkalmazását lehetővé tette olyan területeken is, ahol fontos szerepet játszanak minőségi elemek. Pl. a nyelvészetben alkalmazható matematikai leírást is az tette lehetővé, hogy enélkül a matematikai nyelvészet pusztán nyelvstatisztika maradt volna. Ott ugyanis kvantitásokról, gyakoriságokról van szó. A nyelv struktúrájának matematikai módszereket alkalmazó vizsgálatához a matematika struktúrafogalmának kellett függetlenné válnia attól, hogy a mennyiségekből álló összességek, rendszerek struktúrájáról van-e szó. A matematika ugyanis eredetileg mennyiségekből álló rendszerek, összességek struktúrájának vizsgálatából indult ki, de ezen túljutott, és ma már nincs ehhez kötve. Meg kell itt jegyeznem, hogy a matematika magát a vizsgált szerkezetű rendszert nevezi struktúrának. És ha ennek a szerkezetéről beszél, akkor inkább a struktúrafajta elnevezést használja. Ilyen struktúrafajta pl. a racionális számoké. Ezek körében lehet összeadást, kivonást, szorzást, osztást végezni és érvényesek rájuk az algebra azonosságai. Mindazokat az összességeket, amelyekben valamiféle összeadást meg szorzást és ezek fordított műveleteit, kivonást és osztást lehet úgy definiálni, hogy ugyanezek a törvények legyenek érvényesek rájuk, mint a racionális számokra, kommutatív testeknek nevezi a matematikus. (Tudniillik a testeknél azt is megengedi, hogy a szorzás kommutatív törvénye ne legyen érvényes.)

Ilyen értelemben tehát a nyelv is struktúra, és csak azt kéne kideríteni, hogy milyen struktúrafajtához tartozik, vagyis milyen axiómákat elégít ki. Ezzel a kérdéssel én magam is foglalkoztam egy-két cikkben, és úgy találtam, hogy minimum 11 komponensből kell megépíteni ezt a struktúrát, ami már eléggé bonyolult a matematikában eddig vizsgált struktúrákhoz képest.

Ha már a struktúrákról esett szó, hallhatnánk az 1955-ös balatonvilágosi konferenciáról?

Kalmár: Ez egy algebrai konferencia volt, és én megpróbáltam fölvázolni azt, hogy milyen irányban halad az algebra. Akkoriban a magyar algebra elég fejlett volt, de csak néhány elhatárolt területen. Rédei akadémikus nagy hatású iskolájáról van szó. Arra nem gondoltak, hogy a struktúra fogalmát Rédei világszerte sikert aratott, Algebra c. kézikönyvénél általánosabban is meg lehet ragadni, pedig akkor már világszerte kialakult az univerzális algebra és az automataelmélet, olyan területek, amelyek túlmentek az egyes speciális addig vizsgált struktúrafajtákon. Az univerzális algebra a struktúrák általános algebrai elméletét próbálta megfogalmazni. Ebben egyszerűen arról van szó, hogy egy struktúra egy halmazból (elemek összességéből) áll, műveletekből, amelyeket ezen elemeken el lehet végezni, továbbá relációkból, amelyek vagy fennállnak, vagy nem állnak fenn az elemek között. (A művelet és reláció között az a különbség, hogy a művelet eredménye megint a rendszernek, a struktúrának az eleme. Viszont annak a logikai döntésnek az eredménye, hogy a reláció fennáll-e, a két logikai érték, az „igaz” vagy a „hamis” lehet. Tehát nem egy újabb elemhez jutunk, hanem egy logikai értékhez.) Eleinte az algebra olyanszerű struktúrákat vizsgált, mint a különböző fajta számkörök. A műveletek pedig az összeadás, a szorzás és ennek fordított műveletei, a kivonás és az osztás volt. Ez a típus volt a minta, és a vizsgálatok lényegileg ezen belül maradtak. De amikor a fizikusok mátrixokkal kezdtek számolni, kénytelenek voltak tudomásul venni, hogy nem minden szorzás kommutatív. (Különben a csoportelméletben sokkal előbb fölmerült ez, mert ott a kiindulást nem a számok, hanem a permutációk szolgáltatták. Ezeknél pedig fontos, hogy milyen sorrendben hajtunk végre két sorrendváltoztatást, melyiket előbb és melyiket azután.)

Nos hát Balatonvilágoson felhívtam az algebristák figyelmét arra, hogy ma már az algebra úgy kezeli a struktúra fogalmát, mint egy tetszőleges halmazt, tetszőleges műveletekkel és relációkkal, meg tetszőleges axiómákkal. Feladata pedig, hogy ilyen általánosságban érvényes tételeket bizonyítson be struktúrákról. Erre mondták aztán később egyes fiatal algebristák, hogy egész életre szóló programot adtam nekik.

Említette Ön a nyelvi struktúrákat mint a nem kvantitatív struktúrák egyik mintapéldányát. Hallhatnánk ezzel kapcsolatban valamit a kvalitatív információelméletről?

Kalmár: Erről 1962-ben akadémiai székfoglaló előadásomban beszéltem, de ez még nem kidolgozott elmélet. A matematikusok az információmennyiség mérésének elméletét nevezték el információelméletnek. Ahogy azonban az energetika nem pusztán az energia mennyiségének mérésével foglalkozik, hanem sok minden egyébbel, ugyanúgy ennek mintájára szokták mondani, hogy kell lennie egy általános információelméletnek – informatikának is szokták nevezni –, amelyik nemcsak az információ mennyiségével, hanem a minőségével is foglalkozik. Népszerűen kifejezve, ha föladok egy táviratot, akkor az ideális postatisztviselő talán el se olvassa a szövegét, csak az érdekli, hogy mennyit kell fizetni érte, tehát hány szóból áll. Ez egy közelítő értéke lenne a táviratban foglalt információ mennyiségének. Aki viszont kapja a táviratot, annak a címzettnek éppen az a fontos, hogy miről szól a távirat, pl. halálesetről vagy születésről szól-e a hír. Akkoriban Magyarországon kizárólag a valószínűségszámítási, statisztikai információelmélet, az információmennyiség különböző mértékeinek elméletét művelték, Rényi nagy hatású művének eredményeként. Valóban, Rényi helyesen mutatott rá, hogy nemcsak a Shannon-féle információmérték lehetséges. Ez valóban fontos kérdés, de azt eredményezte, hogy kizárólag e téren folytak információelméleti vizsgálatok. Ezért igyekeztem rámutatni, hogy az informatikához hozzá tartozik egy kvalitatív rész is, az információ minőségi vizsgálata, amelynek legalább egy részét meg lehet fogalmazni matematikailag is. Ha pl. egyetlen számról adunk információt pl. a tízes számrendszerben, vagy akár egy logikai formuláról vagy egy számológépi programról, akkor meg lehet fogni matematikailag azt a fogalmat is, hogy miről informáltunk és nemcsak azt, hogy mennyi az információ mennyisége. Ha pl. összekeverem egy szám számjegyeit vagy egy program jeleit, akkor az információmennyiség változatlan marad a Shannon-féle formula szerint, de a szám, a program nyilván eltér az eredetitől, ha más sorrendbe rakjuk az egyes jeleit.

Efféle kérdések merültek fel az ún. szegedi logikai géppel kapcsolatban is. Erre a névre egy kicsit haragszom, a sajtó adta neki. Úgy kezdődött a dolog, hogy 1956-ban szerveztünk egy szemináriumot annak tanulmányozására, hogy mire használják a matematikai logikát a villamosmérnökök és általában a gyakorlat különböző területein. A hazai matematikusok ugyanis túl absztraktnak találták a matematikai logikát, mígnem meglepetésként jött a hír, hogy közvetlen alkalmazásra talált. Én magam is úgy képzeltem addig, hogy a matematikai logika sok lépcsőn keresztül tér csak vissza a valósághoz. Alkalmazható a matematikára, mert szilárdabban megalapozott elméleteket lehet segítségével alkotni. Ez a matematika esetleg az elméleti fizikára hat, az a kísérleti fizikára, majd az a technikára, s ennek lesz valami gyakorlati alkalmazása. Nagyon soklépcsősnek képzeltem, mielőtt megtudtam, hogy a villamosmérnöki tervezésnek újabban a matematikai logika egyik fejezete, az ítéletkalkulus, ill. a belőle kinőtt Boole-féle algebra egyik fontos segédeszköze.

Érdeklődő embereket szedtem össze, akikkel a szakirodalom alapján próbáltuk az ilyen alkalmazásokat megérteni. Aztán Bakos Tibor akkori adjunktusom javasolta, most a Középiskolai Matematikai Lapok szerkesztője, hogy építsünk egy kis elektronikus számológépet, nem baj, ha mondjuk csak 100-ig tud számolni, hogy legyen miből absztrahálnunk. Erre ugyanis a matematikusoknak is szüksége van: az adott esetben arra, hogy tartsunk a kezünkben elektroncsövet, jelfogót stb. Azonban a pesti kollégáktól megtudtam, hogy egy kis elektronikus számológép akkor még „toronyóra volt arany lánccal”. Ezért azt ajánlotta Tarján Rezső, hogy foglalkozzunk logikai gépekkel. Azokhoz duplán kell a matematikai logika, mert a probléma is logikai, meg az is, amivel megoldjuk. Hozzá is fogtunk, de különféle bonyodalmak miatt csak 1958 május elsején mutattunk be az egyetemen egy közben egészen másfélére változott gépet, mint aminek építéséhez hozzáfogtunk. Aztán később Pesten is bemutattuk. Ez az elektromechanikus gép logikai feladatok megoldására alkalmazható, mégpedig az ún. ítéletkalkulus feladataira. A gép kapacitása nyolc logikai változóig terjed, tehát nyolc alapítéletet lehet vele kombinálni az és, vagy, nem, ha … akkor, akkor és csak akkor szavakkal kifejezett műveletekkel. Meg tudjuk a géppel állapítani, hogy az így kapott bonyolultabb ítélet mikor igaz. De alkalmas a gép pl. adott működési feltételeknek megfelelő áramkörök helyességének ellenőrzése is.

És mi a „végső” mérlege a szegedi logikai gépnek? – ennek már ez a neve …

Kalmár: Számunkra azért volt tanulságos, mert egyrészt belemelegedtünk a témakörbe, másrészt pedig adott néhány ötletet olyan elektronikus számológépek megvalósítására, amilyenek akkor még nem voltak. Az egyik ötlet a következő volt. Minthogy minden számtani műveletet vissza lehet vezetni logikai műveletekre, elvileg lehet olyan számológépet építeni, amelyben az aritmetikai egység kizárólag huzalt tartalmaz. Tehát abszolút gyors áramsebességgel működik, csak a memória hozzáférési ideje korlátozza: amíg az adatokat kiszedem a memóriából, meg az eredményt betárolom. Ezért azonban elég súlyos árat kell fizetni a memória szervezésmódja terén.

Másrészt a logikai gépet dugaszolások segítségével programoztuk, amiről rögtön kiderült, hogy nehézkes és komoly hibaforrás. Ezért készítettünk hozzá egy billentyűs berendezést, amely a logikai formula alapján automatikusan felépíti a megfelelő áramkört. S akkor fölmerült az az ötlet, hogy hasonló elven számológépet is lehetne csinálni.  A logikai formula helyett valamilyen programozási nyelven írt programnak a jeleit kell sorra bebillentyűzni és így olyan elektronikus számológép készítése válik lehetővé, amely fordító program nélkül megérti a magasabb szintű programozási nyelveket. Anyanyelve tehát nem egy alacsonyabb szintű gépi nyelv volna, hanem egy magasabb szintű programozási nyelv.

A megvalósításhoz szükséges kísérletek végzésére azonban nem kaptam sem engedélyt, sem pénzt. Arra hivatkoztak, hogy Magyarország kis ország, ne foglalkozzék elektronikus számológépekkel. (Akkor még ez volt a jelszó.) De külföldön sorra megvalósították, így pl. Kijevben az Ukrán Tudományos Akadémia Kibernetikai Intézetében V.M. Gluskov és munkatársai. Amikor kint voltam, mondták, hogy az én cikkeimből indultak ki annak a MIR nevű gépnek a megszerkesztésekor, amely majdnem ALGOL-60-ul tud. Most folyik Amherstben a Massachusetts Egyetemen Lee professzor kísérlete egy FORTRAN anyanyelvű gép összeállítására. Vagyis a FORTRAN-ban írt program minden jele egy külön utasítás, mondhatni mikroutasítás, oly módon, hogy ha ezeket sorra végrehajtja dinamikus sorrendben (van benne ugyanis ugrási lehetőség is), akkor ugyanaz lesz az eredménye, mint az illető programozási nyelven írt programnak. De hát ennek a megvalósítása itthon nem történt meg. Különben is ez olyan kérdés, ami annyira érett volt, hogy lassanként többen rájöttek tőlünk függetlenül is, így előbb-utóbb mégiscsak megvalósul, és ez a fontos.

Mi a kapcsolata a szegedi logikai gépnek és a formulavezérlésű számológépnek a kvalitatív információelmélettel?

Kalmár: A vizsgálandó logikai formula alapján az addig dugaszolással összeállított áramkör automatikusan felépíthető, említett billentyűs berendezés alapelve az, hogy megállapítja a logikai formula minden egyes jeléről, hogy miről ad információt (pl. egy kezdő zárójel arról, hogy a formula egy – a megfelelő végzárójelig tartó – része valamely művelet eredménye lesz), és ennek alapján építi fel az áramkör azon részét, amelyhez az az információ (az előzőleg kielemezett, a kérdéses jeltől balra álló jelekhez tartozó információval együtt) már elegendő. Hasonló a formulavezérlésű számológép elve: a formulanyelv (magasabb szintű programozási nyelv) minden egyes jeléhez hozzárendel egy gépi utasítást, azt, amelyet a kérdéses jel által adott információ határoz meg. Azt az „alapinformációt” persze, hogy logikai formuláról, ill. hogy mely programozási nyelven írt programról van szó, eleve be kell építeni a berendezésbe.
Az alapinformációnak általában fontos szerepe van a kvalitatív információelméletben. Ez az az információ, amelyet ismernünk kell a további információt közlő jelsorozat vétele előtt mint a vétel lehetőségének feltételét. Ehhez a statisztikai információelmélet nem rendel információmennyiséget, pedig ez változtatja végessé az enélkül végtelen bizonytalanságot. Amelyet aztán a jelsorozat jelei sorra kisebbé tesznek, majd az utolsó jel vétele után teljesen megszüntetnek. Ez utóbbinak is van feltétele, pl. ez magyarázza meg, miért kell lyukszalag soraival kódolt, előre meg nem határozott hosszúságú szám végére „számvégjel”.

Beszélgetésünkben többször esett szó egyes nehéz bizonyítások egyszerűsítéséről, amely az Ön tevékenységéhez fűződik, matematikai tételek mélyebb tartalmának „népszerűsítéséről”. Amikor tehát pedagógiai tevékenysége felől érdeklődünk, nem protokoll-kérdést teszünk föl. Mintha munkásságának jelentős rétege volna, mintha ez irányú tevékenysége során „iskolák” sorát indította volna el!

Kalmár: Én mindig pedagógusnak éreztem magamat, annak ellenére, hogy középiskolában, a gyakorló év kivételével, nem tanítottam, mert mindjárt az egyetemre kerültem tanársegédnek. Mindig azt tartottam, hogy az egyetemen az a feladatom, hogy nehéz kérdéseket könnyűvé tegyek a tanítványaim részére. Rövid elméleti fizikus kitérő után Riesz professzorhoz kerültem, aki bizony Fejér professzorhoz képest nagy változást jelentett. Megszoktam Fejér stílusát. Amikor egyszer kezébe került egy olyan cikk, amit nem lehetett megérteni, olyan misztikus stílusban volt leírva, akkor azt mondta, hogy ezek a fiatalok, ezek a fiatalok, az az ambíciójuk, hogy ha valaki kezébe veszi a cikküket, akkor azt mondja, hogy milyen nagy zseni aki azt írta, hogy olyan dolgokat felfedezett, amilyenre én nem is gondolok. Én – folytatta Fejér – ha írok egy cikket, akkor mindig az az ambícióm, hogy az olvasók azt mondják: ez is valami? – ezt én is meg tudtam volna csinálni. Ezért volt Fejérnek minden cikke annyira érthető, élvezetes olvasmány.

Nagyon szerettem a didaktikai igénnyel írt könyveket. Emlékszem, hogy még középiskolás diák koromban Dávid tanár úrtól kölcsön kaptam Hessenberg egy könyvét, ahol kritizálja azokat a „jó rövid” bizonyításokat, amelyek „deus ex machinán” alapszanak. Példákat mutat arra, hogy miként lehet megmagyarázni, hogy melyik eszközt miért használjuk.

A matematikát érthetővé tenni egyébként magyar tradíció. Ma Pólya Györgyöt tartják a világ legnagyobb matematikai didaktikusának. Dienes Zoltánnak is elismert neve van ebből a szempontból, az itthoniak közül pedig pl. Varga Tamás matematikai didaktikai érdemeit ismerik el világszerte.
Én arra igyekeztem mindig, hogy ne csak a tehetségesek értsék meg az anyagot. Amíg még elég kevés hallgatónk volt, volt arra mód, hogy egyénileg intenzívebben foglalkozzon az ember mindegyikkel. Még egyetemi hallgató koromban évfolyamtársaimmal sokat foglalkoztam, beszélgettem matematikai kérdésekről.
Sohasem az volt a fő ambícióm, hogy minél több cikket írjak. Nagyon sok dolog van, amit nem cikk alakjában írtam meg, hanem levél formájában. Így pl. amikor a természetes számok aritmetikájának axiómarendszere ellentmondástalanságának Gentzen-féle bizonyítása megjelent, 64 oldalas levélben írtam meg Péter Rózsának, hogy én hogyan értettem meg a nehéz bizonyítás alapgondolatát. Aztán később Bernaysnak is megírtam rövidített formában. E levelem alapján szemináriumában több ízben végigtárgyalta a „Kalmár-féle ellentmondástalanság bizonyítást” (én nem annak szántam, legfeljebb csak a Gentzen-féle bizonyítás variánsának), sőt a matematika alapjai klasszikus Hilbert-Bernays-féle kézikönyve II. kötete második kiadásának függelékében is közzétette.
Cikkeim egy részében nem annyira új eredmények közlésére, hanem valaminek a megmagyarázására, népszerűsítésére törekszem. Többek között ezek révén értem el, hogy Magyarországon sikerült a matematikai logikát meghonosítanom, annak ellenére, hogy a matematikusok körében nagy volt az ellenszenv vele szemben, és egy időben Fogarasival is vitatkoznom kellett róla, aki nem tartotta a marxizmussal összeegyeztethető logikának. De az idő e tekintetben is nekem adott igazat.
Azt is meg kell mondanom, hogy én a tudományban nem vagyok hűséges, nem szoktam egy téma mellett kitartani, hanem ha valami újabb, érdekesebb jön, akkor az kezd izgatni. Mint mondtam, kezdett izgatni, hogy mire használják a matematikai logikát, és ez lassanként odáig „fajult”, hogy ma már a számítástudományt vallom saját tudományterületemnek, főleg a programozási nyelvek elméletét. A matematikai nyelvészettel is csak egy ideig foglalkoztam, fölvázoltam a problémákat a nyelvészeknek, akiknek foglalkozniuk kellene vele és továbbléptem. A programozási nyelvekkel viszont nagyon sok teendő van még, és általában a számítástudomány terén. Ennek a tudománynak is el kell ismertetnie a maga polgárjogát. Talán furcsán hangzik néhány gazdasági bizottsági és kormányhatározat után, de pillanatnyilag még az a helyzet, hogy a matematikusoknak csak aránylag kis része tudja, hogy mi az a számítástudomány, de ők is lenézik. Azt szokták mondani, természetesen matematika az is, de triviális matematika. Egy jó matematikus egy hét alatt megtanulja, mondják, ha van hozzá kedve. Ez azonban, mint a tapasztalat megmutatta, nem áll.

Nagyon érdekes, hogy a matematikusok alkalmazzák valamennyi szakember közül legkevésbé a számológépeket, pedig meg vagyok róla győződve, hogy éppen a nem numerikus alkalmazások területén nagyon sok teendő, alkalmazási lehetőség volna. Úgy képzelem, hogy a matematikusnak van egy problémája, megoldásához pedig van néhány ötlete, ha ezeket egy alkalmas nyelven be tudná táplálni egy számológépbe, és az kipróbálná az ötleteket, kinyomtatná a kapott részleteredményeket, ezek újabb ötleteket adhatnak a matematikusnak, aki megbírálná, hogy melyik visz közelebb a célhoz, a többit pedig törölné. Ennek az iterációja – interaktív bizonyítás – útján gondolom, esetleg 10 éven belül, de talán előbb is el lehet érni azt, hogy olyan problémát is meg tud oldani egy matematikusból és egy számológépből álló rendszer, amivel a matematikusok kézi módszerekkel hiába próbálkoztak. De ehhez mindenekelőtt speciális, matematikusok számára készült, matematikai ötletközlő interaktív programozási nyelvet kellene szerkeszteni és a meglevő számológépeken megvalósítani. Az eredmény viszont számos elméleti beállítottságú matematikust meggyőzne a számítástudomány hasznáról.