Kalmár László élete

Megemlékezések Kalmár Lászlónkról 1905-1976

1976. augusztus 1-én az MTA mátraházai üdülőjében Kalmár László – megszokott ebéd utáni alvását elhagyva – élénken végigbeszélgette velem a délutánt. Beszélt a szerteágazó meghívásokról, amelyeknek eleget tenni készül; hiszen a világ legkülönbözőbb pontjain várják a tanácsait. Arról is beszélt, hogy be szeretne kapcsolódni a matematika oktatásunk reformját előkészítő munkába (ami az én nyugdíjas koromnak ad célt és értelmet). Nem ő volt a beteg, én voltam az, és ő kedves gondoskodással vett körül: kihozott számomra a bejárat feletti kis eresz alá egy karosszéket, hogy az eső ellenére szívhassak magamba egy kis mátrai levegőt. Másnap – mint minden délelőtt – felment a Kecskebércre, amire én már álmomban sem mernék gondolni. Visszatérte után egyszerre rosszul érezte magát – és percek múlva halott volt. Máig sem lehet elhinni és beletörődni.

A Bolyai János Matematikai Társulat ez évi vándorgyűlésén Urbán János szimultán riportot akart csinálni Kalmár Lászlóval és velem; abból a kérdésből indulva ki, hogy hogyan lett belőlünk matematikus. Ebbe én nem mentem bele, mert többre becsülöm a hallgatóságot, mint hogy váratlan kérdésekre bizonyára sok üres töltelékszóval kapásból válaszoljak. Kalmár viszont az az ember volt, aki spontán válaszaiban is tud jót adni, sőt ezekhez mindjárt szerteágazó más gondolatok is kapcsolódnak – dehogyis tudnék én ebben részt venni. Csak arra vállalkoztam, hogy bekonferálom Kalmár Lászlót. Hiszen a legigazabb válasz a nekem elsőként feltett kérdésre: én úgy lettem matematikus, hogy Kalmár László évfolyamtársam volt az egyetemen. És megpróbáltam érzékeltetni azt a szinte misztikus jelenséget, amit az akkori anarchisztikusnak mondható egyetemi körülmények közt a hallgatótársak számára Kalmár jelentett – nem tudva, hogy búcsúztatót mondok.

Azt kellett elmondanom, mert úgy volt, hogy Kalmár kezdettől fogva mindent tudott, és azt is tudta, hogy amit tud, azt hogyan adhatja át másoknak. Mindkettőre példát is hoztam fel.

Az elsőre ezt: Egy csodagyerek tanítványomnak (akiből azóta Peter D. Lax néven nagy matematikus lett) egy kérdésével levélben fordultam Kalmárhoz, aki akkor egy kis osztrák faluban nyaralt, ahol nyilván nem volt matematikai könyvtár. Azt válaszolta, hogy ezzel a tárgykörrel nem foglalkozott. Én ebbe nem törődtem bele; még egyszer írtam, hangsúlyozva, hogy nekem ez nagyon fontos volna. Újabb válaszában miden benne volt, amit erről a tárgykörről tudni kellett.

Ami pedig a matematikai ismeretek átadását illeti, Kalmár már akkor tudta, ami a matematika oktatás mai korszerűsítésének egyik alapgondolata: hogy ezt igazán hatékonnyá az teszi, ha alkalmas feladatsorokon keresztül szinte mindent a tanulók fedeznek fel. Pólya György és Szegő Gábor kitűnő könyve, amely így vezet be az analízisbe, akkor még nem volt ismert; Kalmár volt az egyetemen társainak eleven „Pólya-Szegő”-je: a matematika legkülönbözőbb problémaköreibe ilyen feladatsorokkal vezetett be minket.

Amiket pedig az előadásokból nem értettünk, részben azért, mert még kiforróban levő fogalmak voltak, azokat Kalmár világította meg nekünk, mert benne ezek már akkor kristálytisztán kialakultak. Bennem például kezdetben kételyek támadtak, hogy alkalmas vagyok-e az egyetem végzésére, mert hónapokig nem értettem az analízis-előadást, amely a valós számokat az ún. Dedekind-szeletekkel azonosította. Szerintem az irracionális szám is szám volt, amiről volt valami intuitív elképzelésem, ez azonban cseppet sem hasonlított egy halmazpárra, amit Dedekind-szeletnek neveznek. Kalmár vigasztalt meg, hogy ennek meg nem értésében igazam volt, mert itt kimaradt egy fontos láncszem. Ma ez már teljesen kézenfekvő, de akkor talán csak Kalmár látta ennyire világosan: kezdetben a valós szám intuitív fogalmával dolgozva megfigyelték, hogy ennek milyen tulajdonságait használják fel a bizonyításokban; ezeket a tulajdonságokat aztán axiómákként szögezték le, hogy azontúl már csak az axiómákra hivatkozva, nem intuitív, hanem egzakt vizsgálatokat folytathassanak; egy axiómarendszernek azonban mindig több „modellje” is van; ezt az axiómarendszert például a Dedekind-szeletek is kielégítik.

Már ez is arra mutat, ami Kalmár további tudományos tevékenységében mindinkább megmutatkozott – a jelen matematikájában való mind kiterjedését, mind mélységét tekintve példátlan tájékozottságán túl -: a matematika fejlődése folyamán soron lévő feladatok előre meglátásának képessége. Példa erre az 1955-ös balatonvilágosi algebrai konferencián tartott előadása is. A modern algebra alapjául szolgáló „struktúra”-fogalom akkoriban még alakulóban volt; néhány sokat vizsgált konkrét struktúra (csoport, gyűrű stb.) gyűjtőnevét értették rajta. Kalmár rávilágított arra a gyakori helyzetre, hogy valaki például a csoportelméletben kénytelen egy vizsgálataihoz szükséges tételt bebizonyítani, pedig például a gyűrűelméletben már van egészen hasonló bizonyítás; és hogy ezért megérett az idő arra, hogy az akármilyen struktúrákra vonatkozó tényeket tegyék vizsgálat tárgyává. Arról, ahogyan Kalmár a struktúra aktuálissá vált általános definícióját, az „univerzális algebra” definícióját megadta, úgy nyilatkozott fiatalon elvesztett nagy algebristánk, Szele Tibor, hogy egész életre szóló tennivalót adott vele az algebristáknak.

Pedig nem is az algebra volt Kalmár fő kutatási területe. Voltak jelentős eredményei a matematika számos más ágában is, a komplex változás függvénytanban, az analitikus számelméletben, a halmazelméletben, a matematikai logikában, de – mielőtt a számítástudományt választotta kutatási területéül, amiről külön kell szólnom – világviszonylatban az elsők közé a matematika alapjainak kutatásában elért eredményei emelték, amelyek egyenrangúan csatlakoztak korunk meglepő nagy felfedezéseihez ebben a „tudományban”.

Ezek a felfedezések: I. Gödel tétele, amely szerint minden „valamirevaló” axiómarendszernek van eldönthetetlen problémája – Kalmár e tétel teljesülésére igen általános feltételeket adott meg. – II. Church ún. „abszolút eldönthetetlen” problémája, azon ún. Church-féle hipotézis alapul vételével, hogy az ún. általánosan-rekurzív függvények osztálya felölel minden olyan számelméleti függvényt, melynek értékei véges számú lépéssel kiszámíthatók. – III. Gentzen bizonyítása a számelmélet ellentmondástalanságára. – Kalmár mindhárom bonyolult, nehezen áttekinthető bizonyítást nagymértékben egyszerűsítette. – IV. Kalmár felfedezése: bizonyítás arra, hogy a Church értelmezésében „abszolút eldönthetetlen” problémák létezése speciális esete Gödel (zárt axiómarendszeren belül eldönthetetlen problémákra vonatkozó) tételének – V. Kalmár 1955-ös ellenpéldája Schröter egy sejtésére, amellyel alá akarta támasztani a fent említett Church-féle hipotézist. – (Néhány újabb meglepő felfedezéssel is folytathatnám ezt a felsorolást, de azok már Kalmár számítástudomány-korszakába esnek.)

Ezek egzakt matematikai vizsgálatok és bizonyítások, de a filozófia szempontjából is nagyjelentőségűek; IV. – minthogy egy tételnél egy speciális esete nem lehet nagyobb horderejű – megfosztja az agnoszticizmust attól az érvtől, hogy a matematika bebizonyította valaminek abszolút eldönthetetlen voltát; V. pedig erősen megingatta azt az elgondolást, hogy a matematika eljárásait zárt keretek közé lehet kényszeríteni.

De nemcsak az elmélet, hanem a gyakorlat számára is kivételesen sokat tudott nyújtani Kalmár. Azzal a rendkívül kívánatos, de nagyon ritka képességgel is rendelkezett, hogy át tudta hidalni az alkalmazásokat nehezítő távolságot a nem-matematikai területek és a matematikai kutatások közt. A nem-matematikai tudományok problémáit is át tudta érteni, éles szemmel látva meg a matematikai módszerek sikeres alkalmazásának lehetőségeit. Ezt bizonyítják az utolsó években megjelent dolgozatai, amelyek a matematikai nyelvészetre, biológiára, biokémiára, orvostudományra, diagnosztikára vonatkoznak, és tanácsait váró rendszeres meghívásai e tárgykörök konferenciáira és kutatóintézeteibe is, a világ minden részéből.

Ezek már Kalmár számítástudományi tevékenységéhez kapcsolódnak. Ez nagyon régen kezdődött; Kalmárnak az új iránti rendkívüli fogékonyságára vall az is, hogy elsőként ő kezdett el küzdeni a számítástechnika és a kibernetika hazai bevezetéséért, minden lehetséges fórum előtt, amikor ez nálunk még eretnekségnek számított. Szinte felmérhetetlen jelentőségű, hogy időt és energiát nem kímélve megteremtette a programozó-matematikus képzés feltételeit a József Attila Tudományegyetemen. Ennek következtében akkor, amikor elzárkózásunk helytelenségét felismerve a népgazdaság különböző területein megindult az elektronikus számológépek alkalmazása; az első pillanattól kezdve szakembereket állíthattunk a gépek mellé.

A számológépek elméletében is Kalmár érte el az első hazai tudományos eredményeket. Új elvet dolgozott ki a logikai gépek megszerkesztésére, majd ezt továbbfejlesztve megalkotta egy olyan számológép elvét, megvalósításának technikai részletezésével együtt, amelyet a feladat formulaként felírt alakja közvetlenül vezérel. Az ő elgondolásai alapján szerkesztették meg a Szovjetunióban a világon első univerzális formulavezérlésű számológépet.

Célkitűzését egyszer, József Attila szavait véve kölcsön, így fogalmazta meg: „Én egész népemet fogom, nem középiskolás fokon, számítástudományra tanítani.” Mert – mint már kezdetben említettem – ízig-vérig tanítómester volt, tudásának átadását érezte legfőbb céljának. Előadásai, jegyzetei, publikációi merőben különböznek a szokványos „definíció, tétel, bizonyítás” felépítéstől; nemcsak a kész anyagról adnak tiszta képet, hanem arról is, hogy mi teszi szükségessé vagy célszerűvé a szóban forgó vizsgálatokat, milyen gondolatsorba kapcsolódnak be, hogyan jöhetne ezekre rá bárki, ha hasonló problémák elé kerülne.

Nemrégen egy négynapos tanácskozás zajlott le az analízis gimnáziumi tanításáról azok közt, akik a matematika oktatás reformjára irányuló kísérleteken jó irányelvek alapján munkálkodnak. Újra meg újra elhangzott Kalmár neve. Utólag merült fel bennem a kérdés: hogyan történhetett, hogy egyikünk sem javasolt egy szokásos egyperces felállást Kalmár emlékére? De mindjárt tudtam a választ is: Kalmár ott élt közöttünk. Hiszen mindenki, akinek ehhez a nagy ügyhöz szívbéli köze van, közvetlenül vagy közvetve az ő tanítványa. Egész tanácskozásunk neki szóló felállás volt; és neki szóló felállás lesz mindaz, ami jót ezen a téren most és a jövőben létrehozni tudunk.

Péter Rózsa