Távolság-metrikák

A távolság-metrikák axiómarendszere

Egy d(p,q) adatpont pároson értelmezett d: Rⁿ×Rⁿ →R függvényt távolságmetrikának nevezünk, amennyiben eleget tesz a következő feltételeknek:

Tekintsünk egy p=(p₁,p₂,..,p_N) és egy q=(q₁,q₂,...,q_N) vektort! A p és q vektor Manhattan-távolsága:

d({\mathbf p},{\mathbf q}) = \sum_{i=1}^N |p_i - q_i|

Tekintsünk egy p=(p₁,p₂,..,p_N) és egy q=(q₁,q₂,...,q_N) vektort! A p és q vektor Euklideszi távolsága:

d({\mathbf p},{\mathbf q}) = \sqrt{\sum_{i=1}^N (p_i - q_i)^2}

Tekintsünk egy p=(p₁,p₂,..,p_N) és egy q=(q₁,q₂,...,q_N) vektort! A p és q vektor Minkowski-távolsága:

d({\mathbf p},{\mathbf q}) = \left( \sum_{i=1}^N | p_i - q_i |^p\right)^{\frac{1}{p}}

Vegyük észre, hogy

Tekintsünk egy p=(p₁,p₂,..,p_N) és egy q=(q₁,q₂,...,q_N) vektort! A koszinus távolság a p és q vektor által bezárt szög koszinusza:

\cos \Theta = \frac{{\mathbf p}^T{\mathbf q}}{||{\mathbf p}||\cdot||{\mathbf q}||}

Tekintsünk egy p=(p₁,p₂,..,p_N) és egy q=(q₁,q₂,...,q_N) vektort! A p és q vektor Mahalanobis-távolsága a következőképpen adható meg:

d({\mathbf p},{\mathbf q}) = \sqrt{({\mathbf p} - {\mathbf q})^T \Sigma^{-1} ({\mathbf p}-{\mathbf q})}

ahol Σ a jellemzők által felvett értékekből számított kovarianciamátrix.